將編號為1,2,3,4,5的五個同質(zhì)量的小球,隨機地放入編號為1,2,3,4,5的五個小盒中,每盒僅放一個小球,若第i(i=1,2,3,4,5)號小球恰好放入第i號小盒,則稱其為一個匹對,用ξ表示匹對的個數(shù).
(1)求第3號小球恰好放入第3號小盒的概率.
(2)求1號小球不落入1號小盒且5號小球也不落入5號小盒的概率.
(3)求匹對的個數(shù)ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ.
分析:(1)由題意設第3號小球恰好放入第3號小盒記為時間A,有古典概型隨機事件的概率公式可得;
(2)由題意記1號小球不落入1號小盒且5號小球不落入5號小盒的事件記為B,利用古典概型隨機事件的概率公式即可求得;
(3)由于ξ表示匹對的個數(shù),由題意則ξ可能�。�0,1,2,3,5,并利用古典概型隨機事件的概率公式及排列數(shù)與組合數(shù),求出其分布列及期望.
解答:解:(1)第3號小球恰好放入第3號小盒記為時間A,則
P(A)=
A
4
4
A
5
5
=
1
5
,
(2)1號小球不落入1號小盒且5號小球不落入5號小盒的事件記為B,
則P(B)=
A
5
5
-2
A
4
4
+
A
3
3
A
5
5
=
13
20
,
(3)由題意ξ可能�。�0,1,2,3,5,則
P(ξ=1)=
C
1
5
×9
A
5
5
=
3
8
P(ξ=2)=
C
2
5
×2
A
5
5
=
1
6
,P(ξ=3)=
C
3
5
A
5
5
=
1
12
,P(ξ=5)=
1
A
5
5
=
1
120
P(ξ=0)=1-
3
8
-
1
6
-
1
12
-
1
120
=
11
30
  
ξ的分布列為:
ξ 0 1 2 3 5
P
11
30
3
8
1
6
1
12
1
120
Eξ=
11
30
+1×
3
8
+2×
1
6
+3×
1
12
+5×
1
120
=1.
點評:此題考查了等可能事件的概率公式,離散型隨機變量的定義及其分布列,并且利用分布列求出期望,還考查了考慮問題時的嚴謹?shù)倪壿嬎季S及計算能力.
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