Question

某化妝品生產(chǎn)公司計(jì)劃在鄭州的“五一社區(qū)”舉行為期三天的“健康使用化妝品知識(shí)講座”．每位有興趣的同志可以在期間的任意一天參加任意一個(gè)講座，也可以放棄任何一個(gè)講座．規(guī)定：各個(gè)講座達(dá)到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時(shí)稱為滿座，否則稱為不滿座．若各個(gè)講座各天滿座的概率如下：

	洗發(fā)水講座	洗面奶講座	護(hù)膚霜講座	活顏營養(yǎng)講座	指油使用講座
第一天	1 4	1 4	1 4	1 4	1 2
第二天	1 2	1 2	1 2	1 2	2 3
第三天	1 3	1 3	1 3	1 3	2 3

（1）求指油使用講座三天都不滿座的概率；
（2）設(shè)第二天滿座的講座數(shù)目為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出指油使用講座三天都不滿座的概率．
（2）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，5．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）設(shè)指油使用講座三天都不滿座為事件A，
則P（A）=（1-

1

2

）（1-

2

3

）（1-

2

3

）=

1

18

，
∴指油使用講座三天都不滿座的概率為

1

18

．…（5分）
（2）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，5．
P(ξ=0)=(1-

1

2

)4×(1-

2

3

)=

1

48

…（6分）
P(ξ=1)=

C

1 4

×

1

2

×(1-

1

2

)3×(1-

2

3

)+(1-

1

2

)4×

2

3

=

1

8

，…（7分）
P(ξ=2)=

C

2 4

×(

1

2

)2×(1-

1

2

)2×(1-

2

3

)+

C

1 4

×

1

2

×(1-

1

2

)3×

2

3

=

7

24

，…（8分）
P(ξ=3)=

C

3 4

×(

1

2

)3×(1-

1

2

)×(1-

2

3

)+

C

2 4

×(

1

2

)2×(1-

1

2

)2×

2

3

=

1

3

．…（9分）
P(ξ=4)=(

1

2

)4×(1-

2

3

)+

C

3 4

(

1

2

)3×(1-

1

2

)×

2

3

=

3

16

；…（10分）
P(ξ=5)=(

1

2

)4×

2

3

=

1

24

；…．…（11分）
故ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4	5
P	1 48	1 8	7 24	1 3	3 16	1 24

Eξ=0×48+1×

1

8

+2×

7

24

+3×

1

3

+4×

3

16

+5×

1

24

=

8

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．