Question

為降低汽車尾氣排放量，某工廠生產(chǎn)了甲、乙兩種不同型號的節(jié)排器，現(xiàn)從甲、乙兩種產(chǎn)品中各隨機抽取100件進(jìn)行產(chǎn)品性能質(zhì)量評估，綜合得分情況如下面的頻率分布直方圖所示：
產(chǎn)品等級劃分及利潤率如下表（

1

10

＜a＜

1

6

）：

綜合得分k的范圍	產(chǎn)品等級	產(chǎn)品利潤率
K≥85	一級品	a
75≤k＜85	二級品	5a2
70≤k＜75	三級品	a2

（1）視直方圖中頻率為概率，則  
 ①如果從甲型號產(chǎn)品中按等級用分層抽樣的方法抽取10件產(chǎn)品，然后從這10件產(chǎn)品中隨機抽取3件，求至少2件一級品的概率；
 ②如果從乙型號產(chǎn)品中隨機抽取3件，求二級品數(shù)E的分布列；
（2）從長期來看，投資哪種型號產(chǎn)品的平均利潤率較大．

Answer 1

考點：頻率分布直方圖,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）①求出甲型號產(chǎn)品中在[75，85）與[85，95）的頻率，再求用分層抽樣法抽取10件產(chǎn)品以及從這10件產(chǎn)品中隨機抽取3件，至少2件一級品的概率；
②計算從100件乙型號產(chǎn)品中隨機抽取3件，二級品數(shù)E可能取值是什么，求出對應(yīng)的概率與分布列；
（2）投資甲型號產(chǎn)品的利潤y₁，投資乙型號產(chǎn)品的利潤y₂，討論a的值，比較y₁與y₂的大小，得出投資哪種型號產(chǎn)品利潤大．

解答： 解：（1）①甲型號產(chǎn)品中在[75，85）的頻率是（0.020+0.060）×5=0.4，
在[85，95）的頻率是（0.080+0.040）×5=0.6，
用分層抽樣的方法抽取10件產(chǎn)品時，二級品是0.4×10=4，一級品是0.6×10=6，
從這10件產(chǎn)品中隨機抽取3件，至少2件一級品的概率是P=

C 2 6 •C 1 4 +C 3 6

C 3 10

=

60+20

120

2

3

；
②乙型號產(chǎn)品中在[75，85）的頻率是（0.020+0.030）×5=0.25，
對應(yīng)的頻數(shù)是100×0.25=25，
從100件乙型號產(chǎn)品中隨機抽取3件，二級品數(shù)E可能取值為0、1、2、3，
∴P（E=0）=

C 3 75

C 3 100

=

74×73

4×33×98

，
P（E=1）=

C 2 75 •C 1 25

C 3 100

=

75×74

4×33×98

，
P（E=2）=

C 1 75 •C 2 25

C 3 100

=

75×24

4×33×98

，
P（E=3）=

C 3 25

C 3 100

=

8×23

4×33×98

；
∴E的分布列為：

E	E=0	E=1	E=2	E=3
P	74×73 4×33×98	75×74 4×33×98	75×24 4×33×98	8×23 4×33×98

（2）投資甲型號產(chǎn)品，利潤是y₁=0.4•5a²+0.6•a=2a²+0.6a，
投資乙型號產(chǎn)品，利潤是y₂=0.010×5•a²+0.25•5a²+（1-0.05-0.25）•a=1.3a²+0.7a；
∴y₁-y₂=0.7a²-0.1a=

1

10

a（7a-1）；
∴當(dāng)0＜a＜

1

7

時，y₁-y₂＜0，
當(dāng)a=

1

7

時，y₁-y₂=0，
當(dāng)a＞

1

7

時，y₁-y₂＞0；
又∵

1

10

＜a＜

1

6

，
∴當(dāng)

1

10

＜a＜

1

7

時，y₁＜y₂，即投資乙型號產(chǎn)品利潤大，
當(dāng)a=

1

7

時，y₁=y₂，即投資甲、乙型號產(chǎn)品利潤一樣大，
當(dāng)

1

6

＞a＞

1

7

時，y₁＞y₂，即投資甲型號產(chǎn)品利潤大．

點評：本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了離散型隨機變量的分布列的計算問題，產(chǎn)品利潤的大小比較問題，是綜合題目．