Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，前n項(xiàng)和為S_n．則“|q| =

2

”是“S₆=7S₂”的

充分而不必要

條件．

Answer 1

分析：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n．結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．

解答：解：若|q| =

2

，則S6=

a1(1-q6)

1-q

，S2=

a1(1-q2)

1-q

，
即S6=

a1(1-q6)

1-q

=

a1(1-8)

1-q

=-

7a1

1-q

，
S2=

a1(1-q2)

1-q

=

a1(1-2)

1-q

=-

a1

1-q

，
∴S₆=7S₂，
當(dāng)q=1時(shí)，S₆=7S₂不成立．
當(dāng)q≠1時(shí)，由S₆=7S₂得

a1(1-q6)

1-q

=

7a1(1-q2)

1-q

，
即1-q⁶=7-7q²，
∴（1-q²）（1+q²+q⁴）=7（1-q²），
∴（1-q²）（q⁴+q²-6）=0，
（1-q²）（q²-2）（q²+3）=0，
解得q=-1或q=±

2

．
∴“|q| =

2

”是“S₆=7S₂”的充分而不必要條件．
故答案為：充分而不必要條件．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用等比數(shù)列的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．