【題目】為了美化環(huán)境,某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪,休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD.其中AB=3百米,AD=百米,且△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.?dāng)M修建兩條小路AC,BD(路的寬度忽略不計(jì)),設(shè)∠BAD=,(,).
(1)當(dāng)cos=時(shí),求小路AC的長(zhǎng)度;
(2)當(dāng)草坪ABCD的面積最大時(shí),求此時(shí)小路BD的長(zhǎng)度.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)在△ABD中,由余弦定理可求BD的值,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinθ,根據(jù)正弦定理可求sin∠ADB,進(jìn)而可求cos∠ADC的值,在△ACD中,利用余弦定理可求AC的值.
(2)由(1)得:BD2=14﹣6cosθ,根據(jù)三角形面積公式,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求.SABCD=7sin(θ﹣φ),結(jié)合題意當(dāng)θ﹣φ時(shí),四邊形ABCD的面積最大,即θ=φ,此時(shí)cosφ,sinφ,從而可求BD的值.
(1)在中,由,
得,又,∴.
∵ ∴
由得:,解得:,
∵是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形 ∴且
∴
在中, ,
解得:
(2)由(1)得:,
,此時(shí),,且
當(dāng)時(shí),四邊形的面積最大,即,此時(shí),
∴,即
答:當(dāng)時(shí),小路的長(zhǎng)度為百米;草坪的面積最大時(shí),小路的長(zhǎng)度為百米.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面是正方形,且四個(gè)側(cè)面均為等邊三角形.延長(zhǎng)至點(diǎn)使,連接,.
(1)證明:;
(2)求二面角平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】田忌賽馬是史記中記載的一個(gè)故事,說的是齊國(guó)將軍田忌經(jīng)常與齊國(guó)眾公子賽馬,孫臏發(fā)也們的馬腳力都差不多,都分為上、中、下三等于是孫臏給田忌將軍制定了一個(gè)必勝策略:比賽即將開始時(shí),他讓田忌用下等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的上等馬,用上等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的中等馬,用中等馬對(duì)戰(zhàn)公子們的下等馬,從而使田忌贏得公子們?cè)S多賭注假設(shè)田忌的各等級(jí)馬與某公子的各等級(jí)馬進(jìn)行一場(chǎng)比賽獲勝的概率如表所示:
田忌的馬獲勝概率公子的馬 | 上等馬 | 中等馬 | 下等馬 |
上等馬 | 1 | ||
中等馬 | |||
下等馬 | 0 |
比賽規(guī)則規(guī)定:一次比由三場(chǎng)賽馬組成,每場(chǎng)由公子和田忌各出一匹馬出騫,結(jié)果只有勝和負(fù)兩種,并且毎一方三場(chǎng)賽馬的馬的等級(jí)各不相同,三場(chǎng)比賽中至少獲勝兩場(chǎng)的一方為最終勝利者.
如果按孫臏的策略比賽一次,求田忌獲勝的概率;
如果比賽約定,只能同等級(jí)馬對(duì)戰(zhàn),每次比賽賭注1000金,即勝利者贏得對(duì)方1000金,每月比賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大型商場(chǎng)的空調(diào)在1月到5月的銷售量與月份相關(guān),得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷量(百臺(tái)) | 0.6 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | 1.8 |
(1)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)1月到5月的銷售量可用線性回歸模型擬合該商場(chǎng)空調(diào)的月銷量(百件)與月份之間的相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)6月份該商場(chǎng)空調(diào)的銷售量;
(2)若該商場(chǎng)的營(yíng)銷部對(duì)空調(diào)進(jìn)行新一輪促銷,對(duì)7月到12月有購買空調(diào)意愿的顧客進(jìn)行問卷調(diào)查.假設(shè)該地?cái)M購買空調(diào)的消費(fèi)群體十分龐大,經(jīng)過營(yíng)銷部調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)其中的500名顧客進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:
有購買意愿對(duì)應(yīng)的月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
頻數(shù) | 60 | 80 | 120 | 130 | 80 | 30 |
現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購買意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機(jī)抽取6名,再從這6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行跟蹤調(diào)查,求抽出的3人中恰好有2人是購買意愿的月份是12月的概率.
參考公式與數(shù)據(jù):線性回歸方程,其中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩人各有三張卡片,甲的卡片分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3,乙的卡片分別標(biāo)有數(shù)字0、1、3.兩人各自隨機(jī)抽出一張,甲抽出的卡片上的數(shù)字記為,乙抽出的卡片上的數(shù)字記為,則與的積為奇數(shù)的概率為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(3-x)ex,g(x)=x+a(a∈R)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e≈2.718…).
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若函數(shù)y=f(x)g(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù)h(x)=在區(qū)間(0,+∞)上既存在極大值又存在極小值,并且函數(shù)h(x)的極大值小于整數(shù)b,求b的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽約3世紀(jì)初在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖,現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色,規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色,相鄰區(qū)域顏色不同,則區(qū)域涂色不相同的概率為
A. B. C. D.
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【題目】在平行四邊形中,,,,是EA的中點(diǎn)(如圖1),將沿CD折起到圖2中的位置,得到四棱錐是.
(1)求證:平面PDA;
(2)若PD與平面ABCD所成的角為.且為銳角三角形,求平面PAD和平面PBC所成銳二面角的余弦值.
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