Question

已知曲線C上任意一點M到點F（0，1）的距離比它到直線l:y=-2的距離小1.

（1）求曲線C的方程；

（2）過點P(2,2)的直線m與曲線C交于A，B兩點，設(shè)=λ.

①當λ=1時,求直線m的方程；

②當△AOB的面積為4時（O為坐標原點），求λ的值.

Answer 1

（1）解法一：設(shè)M(x,y)，則由題設(shè)得|MF|=|y+2|-1,

即=|y+2|-1,當y≥-2時,=y+1,化簡得x²=4y;

當y＜-2時,=-y-3,

化簡得x²=8y+8與y＜-3不合,故點M的軌跡C的方程是x²=4y.

解法二：∵點M到點F(1,0)的距離比它到直線l:y=-2的距離小1，

∴點M在直線l的上方.點M到F（1，0）的距離與它到直線l′:y=-1的距離相等,

∴點M的軌跡C是以F為焦點，l′為準線的拋物線.∴曲線C的方程為x²=4y.

（2）當直線m的斜率不存在時，它與曲線C只有一個交點，不合題意.

設(shè)直線m的方程為y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k)，代入x²=4y得x²-4kx+8(k-1)=0（*） 

Δ=16(k²-2k+2)＞0對k∈R恒成立，∴直線m與曲線C恒有兩個不同的交點.

設(shè)交點A，B的坐標分別為A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，則x₁+x₂=4k,x₁x₂=8(k-1).

①由=λ,且λ=1得點P是弦AB的中點,

∴x₁+x₂=4.則4k=4，得k=1.∴直線m的方程是x-y=0.

②∵|AB|==

=4.點O到直線m的距離d=,

∴S_△ABO=|AB|·d=4|k-1|=4.

∵S_△ABO=4,∴4=4.

∴(k-1)⁴+(k-1)²-2=0,(k-1)²=1或(k-1)²=-2（舍去）.∴k=0或k=2.

當k=0時,方程（*）的解為±2.若x₁=2,x₂=-2,則λ==3-2,

若x₁=-2,x₂=2,則λ==3+2.

當k=2時,方程（*）的解為4±2.若x₁=4+2,x₂=4-2,則λ==3+2,

若x₁=4-2,x₂=4+2,則λ==3-2,

∴λ=3+2或λ=3-2.