Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，其前n項和為S_n．
（1）已知a₁=1，d=2，
（ⅰ）求當n∈N^*時，

Sn+64

n

的最小值；
（ⅱ）當n∈N^*時，求證：

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

＜

5

16

；
（2）是否存在實數(shù)a₁，使得對任意正整數(shù)n，關(guān)于m的不等式a_m≥n的最小正整數(shù)解為3n-2？若存在，則求a₁的取值范圍；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）（�。┫壤�用等差數(shù)列的求和公式得出Sn，再結(jié)合基本不等式求得

Sn+64

n

的最小值即可；
（ⅱ）由（ⅰ）知S_n=n²，當n∈N^*時，由于

n+1

SnSn+2

=

n+1

n2(n+2)2

=

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]利用裂項求和的方法化簡所證不等式的左邊，最后進行放縮即得所要證不等式．
（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即存在實數(shù)a₁，使得對任意正整數(shù)n，關(guān)于m的不等式a_m≥n的最小正整數(shù)解為3n-2，再利用不等關(guān)系求得d和實數(shù)a₁的范圍，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）（�。┙猓骸遖₁=1，d=2，
∴Sn=na1+

n(n-1)d

2

=n2，

Sn+64

n

=n+

64

n

≥2

n× 64 n

=16，
當且僅當n=

64

n

，即n=8時，上式取等號．故

Sn+64

n

的最小值是16．（4分）
（ⅱ）證明：由（�。┲猄_n=n²，當n∈N^*時，

n+1

SnSn+2

=

n+1

n2(n+2)2

=

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]，（6分）

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

=

1

4

(

1

12

-

1

32

)+

1

4

(

1

22

-

1

42

)+…+

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]=

1

4

(

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

)-

1

4

[

1

32

+

1

52

+…+

1

(n+1)2

+

1

(n+2)2

]=

1

4

[

1

12

+

1

22

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

]，（8分）
∵

1

(n+1)2

+

1

(n+2)2

＞0，∴

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

＜

1

4

(

1

12

+

1

22

)＜

5

16

．（9分）
（2）假設(shè)對?n∈N^*，關(guān)于m的不等式a_m=a₁+（m-1）d≥n的最小正整數(shù)解為c_n=3n-2，
當n=1時，a₁+（c₁-1）d=a₁≥1；（10分）
當n≥2時，恒有

a1+(cn-1)d≥n a1+(cn-2)d＜n

，即

(3d-1)n+(a1-3d)≥0 (3d-1)n+(a1-4d)＜0

，
從而

3d-1≥0 (3d-1)×2+(a1-3d)≥0 3d-1≤0 (3d-1)×2+(a1-4d)＜0

?d=

1

3

，1≤a1＜

4

3

．（12分）
當d=

1

3

，1≤a1＜

4

3

時，對?n∈N^*，且n≥2時，當正整數(shù)m＜c_n時，
有a1+

m-1

3

＜a1+

cn-1

3

且a1+

cn-1

3

＞n．（13分）
所以存在這樣的實數(shù)a₁符合題意且a₁的取值范圍是[1，

4

3

)．

點評：此題是個難題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，及數(shù)列的求和問題，題目綜合性強，特別是問題（2）的設(shè)置，數(shù)列與不等式恒成立問題結(jié)合起來，能有效考查學生的邏輯思維能力和靈活應用知識分析解決問題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想．