Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$sinx，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（cosx+sinx）），$\overrightarrow$=（cosx，sinx-cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（Ⅰ）求y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，再將各點的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象．寫出g（x）的解析式并在給定的坐標(biāo)系中畫出它在區(qū)間[0，π]上的圖象．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)向量的數(shù)量積公式得到f（x）并化簡得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{4}$），令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ即可求出f（x）的增區(qū)間；
（II）根據(jù)函數(shù)圖象平移規(guī)律得到g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），然后使用描點法作出函數(shù)圖象．

解答 解：（I）f（x）=a•b=$\sqrt{2}$sinxcosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosx+sinx）•（cosx-sinx）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos²x-sin²x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2x-cos2x）
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（sin2x-cos2x）
=sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z．
∴y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3π}{8}$+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ） f（x）=sin（2x-$\frac{π}{4}$），∴g（x）=2sin（2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
列表得

x	0	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$	π
2x$+\frac{π}{4}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{9π}{4}$
g（x）	$\sqrt{2}$	2	0	-2	0	$\sqrt{2}$

經(jīng)過描點、連線得

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，圖象變換和性質(zhì)，以及描點作圖，將f（x）進(jìn)行恒等變換化成復(fù)合三角函數(shù)是關(guān)鍵．