Question

（1）如圖，證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線，b是π外的一條直線（b不垂直于π），c是直線b在π上的投影，若a⊥b，則a⊥c”為真。

（2）寫(xiě)出上述命題的逆命題，并判斷其真假（不需要證明）。

Answer 1

解：（1）如圖，過(guò)直線b上任一點(diǎn)作平面α的垂線n，設(shè)直線a，b，c，n對(duì)應(yīng)的方向向量分別是，則共面，根
據(jù)平面向量基本定理，存在實(shí)數(shù)λ，μ使得 ，
則= 
因?yàn)閍⊥b，所以，
又因?yàn)閍?α，n⊥α，
所以 ，
故，從而a⊥c。

（2） 逆命題為：a是平面α內(nèi)的一條直線，b是α外的一條直線（b不垂直于α），c是直線b在α上的投影，若a⊥c，則a⊥b，逆命題為真命題。