Question

（本小題滿分12分）
已知數(shù)列{a}的前n項和Sn= —a—()+2   (n為正整數(shù)).
（1）證明：a=a+ ().,并求數(shù)列{a}的通項
（2）若=，T= c+c+···+c，求T.

Answer 1

⑴a=. ⑵T=3—.

本試題主要是考查了數(shù)列通項公式的求解以及數(shù)列的求和的綜合運用。
（1）因為數(shù)列{a}的前n項和Sn= —a—()+2   (n為正整數(shù)).
利用前n項和與通項公式的 關(guān)系得到a=a+ ().,并求數(shù)列{a}的通項
（2）根據(jù)第一問得到=，然后運用錯位相減法得到數(shù)列的和式。
解：⑴由S= —a_n—（）+2，得S= —a—()+2，兩式相減，得a=
—a+ a+()，即a=a+().---------------------------------------2分
因為S= —a—（）+2，令n=1，得a=.對于a=a+()，兩端同時除以()，得2a=2a+1，即數(shù)列{2a}是首項為2·a=1，公差為1的等差數(shù)列，故2a=n，所以a=.------------------------------------6分
⑵由⑴及=，得c= (n+1)()，
所以T=2×+3×（）+4×（）+···+(n+1) ()，①
T=2×（）+3×（）+4×（）+···+(n+1) ()，②
由①—②，得
T=1+（）+（）+···+()－(n+1) ()=1+—
(n+1) ()=—.  所以T=3—.------------------------------------12分