Question

7．現(xiàn)有如下投資方案，一年后投資盈虧的情況如下：
（1）投資股市：

投資結(jié)果	獲利40%	不賠不賺	虧損20%
概  率	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$

（2）購買基金：

投資結(jié)果	獲利20%	不賠不賺	虧損10%
概  率	p	$\frac{1}{3}$	q

（Ⅰ）已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進(jìn)行投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于$\frac{4}{5}$，求p的取值范圍；
（Ⅱ）丙要將家中閑置的20萬元錢進(jìn)行投資，決定在“投資股市”、“購買基金”，或“等額同時(shí)投資股市和購買基金”這三種方案中選擇一種，已知$p=\frac{1}{2}$，那么丙選擇哪種投資方案，才能使得一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大？（其中第三方案須考察兩項(xiàng)獲利之和的隨機(jī)變量Z），給出結(jié)果并說明理由．

Answer 1

分析 （I）設(shè)出各個(gè)事件后得C=A$\overline{B}$∪$\overline{A}$B∪AB，根據(jù)P（C）=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}P$$＞\frac{4}{5}$，P+$\frac{1}{3}+q$=1，從而求出P的范圍；
（II）確定兩種情況的隨機(jī)變量，根據(jù)分布列得出相應(yīng)的未知量，求解數(shù)學(xué)期望得出平均的利潤問題，比較即可．

解答 （I）解：記事件A為“甲投資股市且盈利”，事件B為“乙購買基金且盈利”，事
件C為“一年后甲、乙兩人中至少有一人投資獲利”，
則C=A$\overline{B}$∪$\overline{A}$B∪AB，且A，B獨(dú)立．
由上表可知，P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=p．
所以P（C）=P（A$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$B）+P（AB）=$\frac{1}{2}×$（1-P）+$\frac{1}{2}$P$+\frac{1}{2}$P=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}P$$＞\frac{4}{5}$
P$＞\frac{3}{5}$．又因?yàn)镻$+\frac{1}{3}$+q=1，q≥0，
所以p$≤\frac{2}{3}$．
所以$\frac{3}{5}$$＜p≤\frac{2}{3}$．
（II）（Ⅲ）解：假設(shè)丙選擇“投資股票”方案進(jìn)行投資，且記X為丙投資股票的獲利金額（單位：萬元），
所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X	8	0	-4
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$

則E（X）=8×$\frac{1}{2}$$+0×\frac{1}{8}$+（-4）×$\frac{3}{8}$=$\frac{5}{2}$．
假設(shè)丙選擇“購買基金”方案進(jìn)行投資，且記Y為丙購買基金的獲利金額（單位：萬元），
所以隨機(jī)變量Y的分布列為：

Y	4	0	-2
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

則E（Y）=4×$\frac{1}{2}$$+0×\frac{1}{3}$$+（-2）×\frac{1}{6}$=$\frac{5}{3}$．
因?yàn)镋X＞EY，
所以丙選擇“投資股市”，才能使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望較大

點(diǎn)評(píng) 本題考查了互斥事件的概率問題，考查了期望問題，考察了學(xué)生的實(shí)際問題的分析解決能力，屬于中檔題，理解題意是解題的關(guān)鍵．