Question

如圖，已知橢圓Γ：（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的一個動點，滿足||=2a．點P是線段F₁Q與該橢圓的交點，點M在線段F₂Q上，且滿足•=0，||≠0．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設不過原點O的直線l與軌跡C交于A，B兩點，若直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數(shù)列，求△OAB面積的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）設M（x，y）為軌跡C上的任意一點．
當||=0時，點（a，0）和點（-a，0）在軌跡C上．
當||≠0且||≠0時，由•=0，得⊥．
又||=||，所以M為線段F₂Q的中點．在△QF₁F₂中，||=||=a，所以有x²+y²=a²．
綜上所述，點M的軌跡C的方程是x²+y²=a²．
（Ⅱ）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，故可設直線l的方程為y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由消去y并整理，得（1+k²）x²+2kmx+m²-a²=0，
則△=4k²m²-4（1+k²）（m²-a²）=4（k²a²+a²-m²）＞0，且x₁+x₂=，x₁x₂=．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
∵直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數(shù)列，∴•==k²，即+m²=0，
又m≠0，
∴k²=1，即k=±1．
設點O到直線l的距離為d，則d=，
∴S_△OAB=|AB|d=|x₁-x₂|•=|x₁-x₂||m|=．
由直線OA，OB的斜率存在，且△＞0，得0＜m²＜2a²且m²≠a²，
∴0＜＜=a²．
故△OAB面積的取值范圍為（0，a²）
分析：（Ⅰ）設M（x，y）為軌跡C上的任意一點，分類討論，利用•=0，||≠0，即可求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，可設直線l的方程，代入圓的方程，利用韋達定理及直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數(shù)列，可求直線方程，從而可求△OAB面積，進而可得△OAB面積的取值范圍．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，考查求三角形的面積，考查類比思想，解題的關鍵是挖掘隱含條件，正確表示三角形的面積，屬于中檔題．