Question

13．如果正數(shù)x，y滿足x•y^1+lgx=1，則xy的取值范圍是（0，10^-4]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 先兩邊取對數(shù)，得到lgy=-$\frac{lgx}{1+lgx}$，再令lgx=t，lg（xy）=lgx+lgy=$\frac{{t}^{2}}{1+t}$，再構(gòu)造關于t的方程t²-st-s=0有實數(shù)解，求出lg（xy）的范圍，繼而求出xy的范圍．

解答 解∵正數(shù)x，y滿足x•y^1+lgx=1，
兩邊取對數(shù)得，lgx+（1+lgx）lgy=0．
即lgy=-$\frac{lgx}{1+lgx}$，（x≠$\frac{1}{10}$，lgx≠-1），
令lgx=t，則lgy=-$\frac{t}{1+t}$（t≠-1）．，
∴l(xiāng)g（xy）=lgx+lgy=t-$\frac{t}{1+t}$=$\frac{{t}^{2}}{1+t}$，
設s=$\frac{{t}^{2}}{1+t}$，
得到關于t的方程t²-st-s=0有實數(shù)解，
∴△=s²+4s≥0，解得s≤-4或s≥0，
∴l(xiāng)g（xy）≤-4=lg10^-4，lg（xy）≥0=lg1，
∴0＜xy≤10^-4，xy≥1，
故xy的取值范圍是（0，10^-4]∪[1，+∞）．
故答案為：（0，10^-4]∪[1，+∞）．

點評 本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，以及函數(shù)的值域的求法，本題的關鍵是構(gòu)造關于t的方程t²-st-s=0有實數(shù)解，屬于中檔題．