已知函數(shù)f(x)=x-4
x
+4(x≥4)
的反函數(shù)為f-1(x),數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=f-1(an)(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足:bn,
4an
,3n
成等比數(shù)列,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn
分析:(1)先求原函數(shù)的反函數(shù),即從原函數(shù)式中反解出x,后再進(jìn)行x,y互換,即得反函數(shù)的解析式,再利用等差數(shù)列求數(shù)列{
an
}
的通項(xiàng),最后求出數(shù)列{an}的通項(xiàng).
(2)據(jù)bn,
4an
,3n
成等比數(shù)列求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng),再利用錯(cuò)位相乘法求其前n項(xiàng)和即可.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=x-4
x
+4
=(
x
-2)2
(x≥4),
∴f-1(x)=(
x
+2)2
(x≥0),
∴an+1=f-1(an)=(
an
+2)2

an+1
-
an
=2
(n∈N*).
∴數(shù)列{
an
}
是以
a1
=1
為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列.
an
=1+2(n-1)=2n-1
,即an=(2n-1)2(n∈N*).
(Ⅱ)∵bn , 
4an
, 3n
成等比數(shù)列,∴
an
=bn3n=2n-1

從而bn=
2n-1
3n
(n∈N*).
∴Sn=b1+b2++bn=
1
3
+
3
32
+
5
33
++
2n-1
3n

1
3
Sn=
1
32
+
3
33
+
5
34
++
2n-3
3n
+
2n-1
3n+1

兩式相減得
2
3
Sn=
1
3
+2(
1
32
+
1
33
++
1
3n
)-
2n-1
3n+1
=
1
3
+
1
3
(1-
1
3n-1
)-
2n-1
3n+1

Sn=1-
n+1
3n
點(diǎn)評(píng):本題考查反函數(shù)的求法,以及等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì),還有錯(cuò)位相頭減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實(shí)數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請(qǐng)求出a的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:浙江省東陽(yáng)中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對(duì)任意的x∈[a,b]成立,則稱(chēng)函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
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-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
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B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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