已知：四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點，且
CF
CB
=
CG
CD
=
2
3
．
求證：（1）四邊形EFGH是梯形；
（2）FE和GH的交點在直線AC上．
分析：（1）根據(jù)已知中四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點，由平行線分線段成比例定理，我們易證明出EH∥FG，但EH≠FG，故四邊形EFGH是梯形；
（2）由（1）的結(jié)論，我們易得EFGH四點共面，而且EF與FG相交，結(jié)合公理3我們易證明出FE和GH的交點在直線AC上．
解答：精英家教網(wǎng)證明：已知如下圖所示：
（1）連接BD，
∵E，H分別是邊AB，AD的中點，∴EH∥BD
又∵
CF
CB
=
CG
CD
=
2
3
，∴FG∥BD
因此EH∥FG且EH≠FG
故四邊形EFGH是梯形；（6分）
（2）由（1）知EF，HG相交，設(shè)EF∩HG=K
∵K∈EF，EF?平面ABC，
∴k∈平面ABC
同理K∈平面ACD，
又平面平面ABC∩平面ACD=AC
∴K∈AC
故FE和GH的交點在直線AC上．（12分）
點評：本題考查的知識點是平行線等分線段定理，及三線共點問題，其中利用平行線等分線段定理求出四邊形EFGH的形狀是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知空間四邊形ABCD中，AC，BD成60°角，且AC=4，BD=2
3
，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，則四邊形EFGH的面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知空間四邊形ABCD中，AB=CD=3，E、F分別是BC、AD上的點，并且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=
3
，求AB和CD所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點O，以
AB
=
a
，
AD
=
b
為基底向量，則
OB
=
1
2
(
a
-
b
)
1
2
(
a
-
b
)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•豐臺區(qū)二模）已知平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是線段AD的中點．沿BD將△BCD翻折到△BC'D，使得平面BC'D⊥平面ABD．
（Ⅰ）求證：C'D⊥平面ABD；
（Ⅱ）求直線BD與平面BEC'所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D-BE-C'的余弦值．
本題重點考查的是翻折問題．在翻折的過程中，哪些是不變的，哪些是改變的學(xué)生必須非常清楚．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知空間四邊形ABCD中，E、H分別為AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別為BC、CD的中點．
（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）若平行四邊形EFGH為菱形，判斷線段AC與線段BD的大小關(guān)系．

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