Question

13．甲、乙、丙分別從A，B，C，D四道題中獨立地選做兩道題，其中甲必選B題．
（1）求甲選做D題，且乙、丙都不選做D題的概率；
（2）設隨機變量X表示D題被甲、乙、丙選做的次數，求X的概率分布和數學期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）利用古典概率計算公式、相互獨立事件概率計算公式即可得出．
（2）利用互斥事件概率計算公式、相互獨立事件概率計算公式即可得出．

解答 解：（1）設“甲選做D題，且乙、丙都不選做D題”為事件E．
甲選做D題的概率為$\frac{C_1^1}{C_3^1}=\frac{1}{3}$，乙，丙不選做D題的概率都是$\frac{C_3^2}{C_4^2}=\frac{1}{2}$．
則$P（E）=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$．
答：甲選做D題，且乙、丙都不選做D題的概率為$\frac{1}{12}$． 
（2）X的所有可能取值為0，1，2，3．   $P（X=0）=（1-\frac{1}{3}）×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{2}{12}$，$P（X=1）=\frac{1}{3}×{（\frac{1}{2}）^2}+（1-\frac{1}{3}）×C_2^1（1-\frac{1}{2}）×（\frac{1}{2}）=\frac{5}{12}$，$P（X=2）=\frac{1}{3}×C_2^1（1-\frac{1}{2}）×（\frac{1}{2}）+（1-\frac{1}{3}）×C_2^2{（1-\frac{1}{2}）^2}=\frac{4}{12}$，$P（X=3）=\frac{1}{3}×C_2^2{（1-\frac{1}{2}）^2}=\frac{1}{12}$． 
所以X的概率分布為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{12}$

X的數學期望$E（X）=0×\frac{1}{6}+1×\frac{5}{12}+2×\frac{1}{3}+3×\frac{1}{12}=\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了古典概率計算公式、互斥事件概率計算公式、相互獨立事件概率計算公式及其數學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．