Question

（Ⅰ）已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：a（b²+c²）+b（a²+c²）+c（a²+b²）≥6abc
（Ⅱ）求證：．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵a²+b²≥2ab，c＞0
∴c（a²+b²）≥2abc，
同理可得：b（a²+c²）≥2abc；
a（b²+c²）≥2abc．
上面三個(gè)不等式相加可得：a（b²+c²）+b（a²+c²）+c（a²+b²）≥6abc．
原命題得證．
（Ⅱ）要證：．
即證：，
只須證：11+2 ＜11+2
轉(zhuǎn)化為證：＜
而上式恒成立．
所以原命題得證．
分析：（Ⅰ）先根據(jù)a²+b²≥2ab，c＞0得到c（a²+b²）≥2abc；同理可得b（a²+c²）≥2abc；a（b²+c²）≥2abc；再根據(jù)同向不等式可以相加的性質(zhì)即可證明不等式．
（Ⅱ）采用分析法來證，先把不等式轉(zhuǎn)化為：，兩邊平方，整理后得到一恒成立的不等式即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的證明．第二問的證明用到了分析法，分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，一步步向前推，得到一個(gè)恒成立的不等式，或明顯成立的結(jié)論即可．