Question

8、對(duì)數(shù)列{a_n}，規(guī)定{△a_n}為數(shù)列{a_n}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△a_n=a_n+1-an（n∈N）．對(duì)自然數(shù)k，規(guī)定{△^ka_n}為{a_n}的k階差分?jǐn)?shù)列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n）．
（1）已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n²+n（n∈N），，試判斷{△a_n}，{△²a_n}是否為等差或等比數(shù)列，為什么？
（2）若數(shù)列{a_n}首項(xiàng)a₁=1，且滿(mǎn)足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）（理）對(duì)（2）中數(shù)列{a_n}，是否存在等差數(shù)列{b_n}，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=a_n對(duì)一切自然n∈N都成立？若存在，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；若不存在，則請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)定義可得△a_n=a_n+1-a_n，把a(bǔ)_n=n²+n代入整理，根據(jù)等差及等比數(shù)列的定義判斷{△a_n}是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列，同理可判斷{△²a_n}是否為等差或等比數(shù)列．
（2）根據(jù)題中的定義可把已知轉(zhuǎn)化為△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，整理可得a_n+1=2a_n+2ⁿ，利用遞推關(guān)系及a₁=1計(jì)算a₂，a₃，a₄，然后進(jìn)行猜想a_n，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明
（3）結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)：1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n（C_n-1⁰+C_n-1¹+C_n-1²+…+C_n-1^n-1）=n•2^n-1，
進(jìn)行求解

解答：解：（1）△a_n=a_n+1-a_n=（n+1）²+（n+1）-（n²+n）=2n+2，
∴{△a_n}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
∴{△²a_n}是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列；
也是首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列．
（2）∵△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，即△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，
即△a_n-a_n=2ⁿ，∴a_n+1=2a_n+2ⁿ，∵a₁=1，
∴a₂=4=2×2¹，a₃=12=3×2²，a₄=32=4×2³，猜想：a_n=n•2^n-1，
證明：�。┊�(dāng)n=1時(shí)，a₁=1=1×2⁰；ⅱ）假設(shè)n=k時(shí)，a_k=k•2^k-1；
n=k+1時(shí)，a_k+1=2a_k+2^k=k•2^k+2^k=（k+1）•2^（k+1）-1結(jié)論也成立，
∴由�。�、ⅱ）可知，a_n=n•2^n-1．
（3）b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=a_n，即b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=n•2^n-1，
∵1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n（C_n-1⁰+C_n-1¹+C_n-1²+…+C_n-1^n-1）=n•2^n-1，
∴存在等差數(shù)列{b_n}，b_n=n，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=a_n對(duì)一切自然n∈N都成立．

點(diǎn)評(píng)：本小題以新定義為載體主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義的基礎(chǔ)知識(shí)，考查觀察、猜想并進(jìn)行證明的數(shù)學(xué)思想方法．還考查了把新的定義轉(zhuǎn)化為利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解的能力．