Question

x，y∈（0，2]，且xy=2，且6-2x-y≥a（2-x）（4-y）恒成立，則實數(shù)a取值范圍是

（-∞，1]

．

Answer 1

分析：先換元，令2x+y=t并求出它的取值范圍，然后利用分離法將參數(shù)a分離出來，求不等式另一側(cè)的最值即可．

解答：解：令2x+y=t，
∵x，y∈（0，2]，且xy=2，
∴2x+y=2x+

2

x

≥2

2x• 2 x

=4，
∴t∈[4，5]
∵6-2x-y≥a（2-x）（4-y）=a（8-4x-2y+xy）=a（10-4x-2y）
∴6-t≥a（10-2t），
a≤

6-t

10-2t

，
∴當(dāng)t=4時，a≤（

6-t

10-2t

））_min=1
故答案為（-∞，1]．

點評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及換元法的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意均值不等式的合理運(yùn)用．