Question

【題目】設(shè)數(shù)列（任意項(xiàng)都不為零）的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，對(duì)于任意，滿足.

（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在使得成等比數(shù)列，且成等差數(shù)列？若存在，試求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）設(shè)數(shù)列，，若由的前項(xiàng)依次構(gòu)成的數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求正整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）

【解析】

（1）代入求得，利用可驗(yàn)證出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，由此得到和，進(jìn)而得到；

（2）假設(shè)存在滿足題意，利用等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的定義可構(gòu)造方程組，得到，由可求得的范圍，結(jié)合得到，進(jìn)而求出；

（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)和，可利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明與的單調(diào)性，進(jìn)而確定的取值，同時(shí)得到的范圍，從而求得結(jié)果.

（1）數(shù)列是非零數(shù)列，.

當(dāng)時(shí)，，；

當(dāng)且時(shí)，，，

是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，

，，

.

（2）設(shè)存在，滿足題意，

成等比數(shù)列，；

成等差數(shù)列，，

消去可得：，，

，，，解得：，

，，，，.

（3）若是單調(diào)遞增數(shù)列，則為偶數(shù)時(shí)，恒成立，

兩邊取自然對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)可得：，顯然，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

在處取得極大值，

當(dāng)時(shí)，是遞減數(shù)列，又，是的最大值，

；

設(shè)，則，

是遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，存在，使得恒成立；

當(dāng)時(shí)，不成立，

至多前項(xiàng)是遞增數(shù)列，即正整數(shù)的最大值是.