Question

橢圓+y²=1上存在一點P，使得它對兩個焦點F₁，F(xiàn)₂的張角∠F₁PF₂=，則該橢圓的離心率的取值范圍是

1. A.
   （0，]
2. B.
   [，1）
3. C.
   （0，]
4. D.
   [，1）

Answer 1

B
分析：首先根據(jù)橢圓方程，求出它的離心率為：e=，然后設點橢圓上P的坐標為（x₀，y₀），滿足∠F₁PF₂=，利用數(shù)量積為0列出關(guān)于x₀、y₀和a、c的等式．接下來利用橢圓方程消去y₀，得到關(guān)于x₀的式子，再利用橢圓上點橫坐標的范圍：-a≤x₀≤a，建立關(guān)于字母a的不等式，最后解此不等式得出a的范圍，代入離心率關(guān)于a的表達式，即可得到該橢圓的離心率的取值范圍．
解答：∵橢圓方程為：+y²=0，
∴b²=1，可得c²=a²-1，c=
∴橢圓的離心率為e=
又∵橢圓上一點P，使得角∠F₁PF₂=，
∴設點P的坐標為（x₀，y₀），結(jié)合F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
可得=（-c-x₀，-y₀），=（c-x₀，-y₀），
∴=+=0…①
∵P（x₀，y₀）在橢圓+y²=1上，
∴=1-，代入①可得+1-=0
將c²=a²-1代入，得-a²-+2=0，所以=，
∵-a≤x₀≤a
∴，即，解之得1＜a²≤2
∴橢圓的離心率e==∈[，1）．
點評：本題給出一個特殊的橢圓，在已知橢圓上一點對兩個焦點張角為直角的情況下，求橢圓離心率的取值范圍，著重考查了橢圓的標準方程和簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題．