Question

9．過(guò)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1右焦點(diǎn)F作一條直線，當(dāng)直線斜率為2時(shí)，直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線斜率為3時(shí)，直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是（$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$）．

Answer 1

分析 先確定雙曲線的漸近線斜率2＜$\frac{a}$＜3，再根據(jù)$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$，即可求得雙曲線離心率的取值范圍．

解答 解：由題意可得雙曲線的漸近線斜率2＜$\frac{a}$＜3，
∵$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$，
∴$\sqrt{5}$＜e＜$\sqrt{10}$，
∴雙曲線離心率的取值范圍為（$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$）．
故答案為：（$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是利用$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$，屬于中檔題