Question

11．在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁和BB₁的中點．
（1）求證：四邊形AEC₁F為平行四邊形；
（2）求直線AA₁與平面AEC₁F所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取CC₁的中點H，連接BH，EH，運用平行四邊形的判定和性質(zhì)，即可得證；
（2）設(shè)A₁到平面AEC₁F的距離為d，運用等積法，可得${V}_{{A}_{1}-AEF}$=${V}_{F-{A}_{1}AE}$，運用三棱錐的體積公式，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）取CC₁的中點H，連接BH，EH，
在正方形BCC₁B₁中，BF∥HC₁，BF=HC₁，可得BFC₁H為平行四邊形，
即有BH∥FC₁，BH=FC₁，
又AB∥EH，AB=EH，可得四邊形ABHE為平行四邊形，
即有AE∥BH，AE=BH，
則AE=FC₁，AE∥FC₁，可得四邊形AEC₁F為平行四邊形；
（2）設(shè)A₁到平面AEC₁F的距離為d，
直線AA₁與平面AEC₁F所成角θ的正弦值為$\fracb1tfftx{a}$，
由${V}_{{A}_{1}-AEF}$=${V}_{F-{A}_{1}AE}$，可得$\frac{1}{3}$d•S_△AEF=$\frac{1}{3}$a•${S}_{△{A}_{1}AE}$，
即為d•$\frac{1}{2}$${S}_{菱形AE{C}_{1}F}$=a•$\frac{1}{2}$a²，即有d=$\frac{{a}^{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}a•\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
即有直線AA₁與平面AEC₁F所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查空間線線的位置關(guān)系的判斷和線面角的求法，注意運用平行四邊形的判定和性質(zhì)，以及體積轉(zhuǎn)換法，考查運算能力，屬于中檔題．