Question

20．函數(shù)f（x）在[a，b]上有意義，若對任意x₁、x₂∈[a，b]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，則稱f（x）在[a，b]上具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下命題：
①f（x）=$\frac{1}{x}$在[1，3]上具有性質(zhì)P；
②若f（x）在區(qū)間[1，3]上具有性質(zhì)P，則f（x）不可能為一次函數(shù)；
③若f（x）在區(qū)間[1，3]上具有性質(zhì)P，則f（x）在x=2處取得最大值1，則f（x）=1，x∈[1，3]；
④若f（x）在區(qū)間[1，3]上具有性質(zhì)P，則對任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]．
其中真命題的序號為①③④．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）在[a，b]上具有性質(zhì)P的定義，結(jié)合函數(shù)凸凹性的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：①f（x）=$\frac{1}{x}$在[1，3]上為減函數(shù)，則由圖象可知對任意x₁，x₂∈[1，3]，有ff（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]成立，故①正確：
②不妨設(shè)f（x）=x，則對任意x₁，x₂∈[a，b]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，故②不正確，
③在[1，3]上，
f（2）=f[$\frac{x+4-x}{2}$]≤$\frac{1}{2}$[f（x）+f（4-x）]，
∵F（x）在x=2時取得最大值1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+f（4-x）≥2}\\{f（x）≤f（x）_{max}=1}\\{f（4-x）≤f（x）_{max}=1}\end{array}\right.$，
∴f（x）=1，即對任意的x∈[1，3]，有f（x）=1，故③正確；
∵對任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，f（$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₃）+f（x₄）]，
∴f（$\frac{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$（f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）+f（$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$））≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]；
即f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]．故④正確；
故答案為：①③④

點評 本題是一道新定義題，實質(zhì)上是考查函數(shù)的凹凸性及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解這一性質(zhì)，靈活運用這一性質(zhì)，可通過舉反例，以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．