Question

已知：函數(shù)f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞]，
（1）當(dāng)a=-1時，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性并求f（x）的最小值；
（2）若對任意x∈[1，+∞]，f（x）＞0都成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-1時f（x）=

x2+2x-1

x

=x-

1

x

+2，利用導(dǎo)數(shù)工具證明即可
（2）對任意x∈[1，+∞]，f（x）＞0都成立，轉(zhuǎn)化為x²+2x+a＞0對任意x∈[1，+∞]恒成立即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=-1時f（x）=

x2+2x-1

x

=x-

1

x

+2
f′（x）=1+

1

x2

＞0，x∈[1，+∞]，所以f（x）在x∈[1，+∞]上是增函數(shù)，
所以x=1時f（x）取最小值，最小值為2    
（2）若對任意x∈[1，+∞]f（x）＞0恒成立，則

x2+2x+a

x

＞0對任意x∈[1，+∞]恒成立，所以x²+2x+a＞0對任意x∈[1，+∞]恒成立，令g（x）=x²+2x+a，x∈[1，+∞]，
因為g（x）=x²+2x+a在∈[1，+∞]，上單調(diào)遞增，
所以x=1時g（x）取最小值，最小值為3+a，
∵3+a＞0，∴a＞-3．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，不等式恒成立問題．考查轉(zhuǎn)化、計算能力．