已知函數(shù)f(x)=px-數(shù)學(xué)公式-2lnx、
(Ⅰ)若p=3,求曲f9想)在點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若p>0且函f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求實數(shù)p的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù)y=f(x)在x∈(0,3)存在極值,求實數(shù)p的取值范圍.

解:(I)當(dāng)p=3時,函數(shù)f(x)=3x--2lnx,
f(1)=3-3-2ln1=0,f′(x)=3--,
曲線f(x)在點(1,f(x))處的切線的斜率為f′(1)=3-3-2=4,
∴f(x)在點(1,f(x))處得切線方程為y-0=4(x-1),即y=4x-4;
(Ⅱ)f′(x)=p+-=,(4分)
要使f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),只需f′(x)≥0在(0,+∞)內(nèi)恒成立,
即px2-2x+p≥0在(0,+∞)上恒成立,(5分)
即p≥在(0,+∞)上恒成立,
設(shè)M(x)=,(x>0)(6分)
則M(x)==,
∵x>0,∴x+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號,(7分)
∴M(x)≤1,即M(x)max=1,∴p≥1,
所以實數(shù)p的取值范圍是[1,+∞);(8分)
(Ⅲ)∵f′(x)=,令f′(x)=0,即px2-2x+p=0(*)(9分)
設(shè)h(x)=px2-2x+p,x∈(0,3),
當(dāng)p=0時,方程(*)的解為x=0,此時f(x)在x∈(0,3)無極值,所以p≠0;
當(dāng)p≠0時,h(x)=px2-2x+p的對稱軸方程為x=,
①若f(x)在x∈(0,3)恰好有一個極值,
,解得:0<p≤,
此時f(x)在x∈(0,3)存在一個極大值;(11分)
②若f(x)在x∈(0,3)恰好兩個極值,即h(x)=0在x∈(0,3)有兩個不等實根
,解得:<p<1,(13分)
∴0<p<1,
綜上所述,當(dāng)0<p<1時,y=f(x)在x∈(0,3)存在極值.(14分)
分析:(I)把p=3代入f(x)中確定出解析式,求出f(1)確定出切點坐標(biāo)和導(dǎo)函數(shù),把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線方程的斜率,根據(jù)切點坐標(biāo)和斜率寫出切線方程即可;
(Ⅱ)求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),要使函數(shù)在定義域內(nèi)位增函數(shù),即要導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)恒大于0,由導(dǎo)函數(shù)的分子解出p大于等于一個關(guān)系式,利用基本不等式求出這個關(guān)系式的最大值,進(jìn)而得到p的取值范圍;
(Ⅲ)求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)等于0得到一個方程,記作(*),設(shè)方程的左邊為函數(shù)h(x),當(dāng)p=0時求出方程(*)的解為0,顯然函數(shù)無極值點;當(dāng)p不為0時,討論函數(shù)有一個極值和兩個極值,列出不等式組,求出不等式組的解集即可得到p的取值范圍.
點評:此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率,掌握函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,掌握函數(shù)在某點取得極值的條件,是一道中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
23
x3-2ax2+3x(x∈R).
(1)若a=1,點P為曲線y=f(x)上的一個動點,求以點P為切點的切線斜率取最小值時的切線方程;
(2)若函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),試求滿足條件的最大整數(shù)a.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義:兩個連續(xù)函數(shù)(圖象不間斷)f(x)、g(x)在區(qū)間[a,b]上都有意義,則稱函數(shù)|f(x)+g(x)|在[a,b]上的最大值叫做函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間[a,b]上的“絕對和”.已知函數(shù)f(x)=x3,g(x)=x3-3ax2+2.
(Ⅰ)若函數(shù)y=g(x)在點P(1,g(1))處的切線與直線y=x+2平行,求a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下求漢順f(x)與g(x)在區(qū)間[0,2]上的“絕對值”
(Ⅲ)記f(x)與g(x)在區(qū)間[0,2]上的“絕對和”為h(a),a>
32
,且h(a)=2,試求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+c(a,b,c∈R,a≠0)的圖象過點P( 1,2),且在點P處的切線與直線x-3y=0垂直.
(1)若c∈[0,1),試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若a>0,b>0且(-∞,m),(n,+∞)是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,試求n-m-2c的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•河北模擬)已知函數(shù)f(x)=alnx-bx2的圖象上一點P(2,f(2))處的切線方程為y=-3x+2ln2.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)-mx,m∈R,如果g(x)的圖象與x軸交于點A(x1,0),B(x2,0),(x1<x2),AB中點為C(x0,0),求證:g′(x0)≠0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二階矩陣M=(
a1
0b
)有特征值λ1=2及對應(yīng)的一個特征向量
e
1
=
1
1

(Ⅰ)求矩陣M;
(II)若
a
=
2
1
,求M10
a

(2)已知直線l:
x=1+
1
2
t
y=
3
2
t
(t為參數(shù)),曲線C1
x=cosθ
y=sinθ
  (θ為參數(shù)).
(Ⅰ)設(shè)l與C1相交于A,B兩點,求|AB|;
(Ⅱ)若把曲線C1上各點的橫坐標(biāo)壓縮為原來的
1
2
倍,縱坐標(biāo)壓縮為原來的
3
2
倍,得到曲線C2C,設(shè)點P是曲線C2上的一個動點,求它到直線l的距離的最小值.
(3)已知函數(shù)f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-m).
(Ⅰ)當(dāng)m=5時,求函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式f(x)≥1的解集是R,求m的取值范圍.

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