Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝x³－ax²－ax，g(x)＝2x²＋4x＋c.

(1)試問函數(shù)f(x)能否在x＝－1時(shí)取得極值？說明理由；

(2)若a＝－1，當(dāng)x∈[－3,4]時(shí)，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍．

Answer 1

解析：　(1)由題意f′(x)＝x²－2ax－a，

假設(shè)在x＝－1時(shí)f(x)取得極值，則有f′(－1)＝(－1)²－2a(－1)－a＝0，解得a＝－1.

而此時(shí)f′(x)＝x²＋2x＋1＝(x＋1)²≥0，所以函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，函數(shù)無極值．

這與f(x)在x＝－1處有極值矛盾，所以f(x)在x＝－1處無極值．

(2)設(shè)f(x)＝g(x)，則有x³－ax²－ax＝2x²＋4x＋c，

所以c＝x³－x²－3x.

設(shè)F(x)＝x³－x²－3x，則F′(x)＝x²－2x－3，令F′(x)＝0，解得x₁＝－1，x₂＝3.

當(dāng)x變化時(shí)，F′(x)，F(x)的變化情況如表所示：

x	－3	(－3，－1)	－1	(－1,3)	3	(3,4)	4
F′(x)		＋	0	－	0	＋
F(x)	－9		極大值		極小值		－