Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，且BC=2AD=2，AB=4，SA=3．
（1）求證：平面SBC⊥平面SAB；
（2）若E、F分別為線段BC、SB上的一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），滿足

BF

BS

=

BE

BC

=λ．（0＜λ＜1）
①求證：對(duì)于任意的λ∈（0，1），恒有SC∥平面AEF；
②是否存在λ，使得△AEF為直角三角形，若存在，求出所有符合條件的λ值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)平面SAB內(nèi)的直線BC垂直平面SAB，利用平面與平面垂直的判定定理證明：平面SBC⊥平面SAB；
（2）若E、F分別為線段BC、SB上的一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），滿足

BF

BS

=

BE

BC

=λ．（0＜λ＜1）
①直接利用直線與平面平行，判斷對(duì)于任意的λ∈（0，1），恒有SC∥平面AEF；
②存在λ，使得△AEF為直角三角形，分別通過(guò)三角形的三個(gè)角為90°，通過(guò)直線與平面垂直，求出滿足題意的λ值，或推出矛盾的結(jié)果，即可說(shuō)明存在λ．

解答：證明：（1）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，
∵底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，∴BC⊥AB，
∵SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，
∵BC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB；
（2）①∵

BF

BS

=

BE

BC

=λ，∴EF∥SC，
∵SC?平面AEF，EF?平面AEF，
∴對(duì)任意的λ∈（0，1），恒有SC∥平面AEF．
②存在λ，使得△AEF為直角三角形，
1°：若∠AFE=90°，即AF⊥EF，由（1）可知，BC⊥平面SAB，
∵AF?平面SAB，∴BC⊥AF，
∵EF∩BC=E，EF?平面SBC，∴AF⊥平面SBC，∴AF⊥BS，
在Rt△SAB中，AB=4，SA=3，∴BS=5，∴SF=

SA2

BS

=

9

5

，
∴FB=5-

9

5

=

16

5

，λ=

BF

BS

=

9

25

．
2°：若∠FAE=90°，AF⊥AE，由1°：可知，BC⊥AF，
∵BC∩AE=E，AE?平面ABCD，∴AF⊥平面ABCD，
又因?yàn)镾A⊥平面ABCD，這與夠一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直相矛盾，
∴∠FAE≠90°．
3°：若∠AEF=90°，即AE⊥EF，由（1）可知，E∥SC，∴AE⊥SC，
又∵SA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴AE⊥SA，SA∩SC=S，
∴AE⊥平面SAC，∴AE⊥AC，
這與∠BAD=90°矛盾，
所以∠AEF≠90°．
綜上當(dāng)且僅當(dāng)λ=

9

25

，使得△AEF為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面平行與垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力，邏輯推理能力，分類討論思想的應(yīng)用．