Question

定義在R上的函數(shù)f （x）的圖象關于點（-

3

4

，0）對稱，且滿足f （x）=-f （x+

3

2

），f （1）=1，f （0）=-2，則f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2009）的值為

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可推出f（x）=f（x+3）且f（x）=f（-x），得到f（-1）+f（0）+f（1）=0，看出所給的求函數(shù)值的式子
中數(shù)字的個數(shù)除以3，余數(shù)是多少，由此求出結果．

解答：解：定義在R上的函f（x）的圖象關于點（ -

3

4

，0）對稱，
∴f（x）=-f（-x-

3

2

 ）．
又f（x）=-f（x+

3

2

），∴f（x）=f（x+3）且f（x）=f（-x），
∴f（-1）=f（1）=1，∴f（-1）+f（0）+f（1）=0．
又 2009=669×3+2，
故 f（1）+f（2）+f（3）+…+f （2009 ）=669×0+f（1）+f（2）=f（1）+f（-1）=2，

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性，對稱性、周期性，及求函數(shù)值，推出f（x）=f（x+3）且f（x）=f（-x），是解題的關鍵，屬于基礎題．