Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2a|x|（a＞0）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并寫出x＞0時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若方程f（x）=-1有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義判斷出f（x）的奇偶性，再利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求出函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)區(qū)間，
（2）只要求出當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-2ax（a＞0）最小值進(jìn)而利用f（x）_min≤-1解答此題．
解答：解：（1）由題意，函數(shù)f（x）=x²-2a|x|（a＞0）的定義域D=R，對(duì)于任意的x∈D，恒有f（-x）=x²-2ax=f（x），
所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．（3分）
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-2ax（a＞0）
且[a，+∞）?（0，+∞），所以此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[a，+∞）（3分）
（2）由（1）得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，所以我們只要求出x＞0時(shí)f（x）的最小值即可，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（x-a）²-a²（2分）所以f（x）_min=-a²（2分）
只須-a²≤-1，即a≥1或a≤-（12分）
由于a＞0，所以a≥1時(shí)，方程f（x）=-1有解．（2分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、奇偶性，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、定義域，解答的關(guān)鍵是利用單調(diào)性、奇偶性解不等式．