Question

5．已知$f（x）=a+\frac{2}{{{3^x}+1}}$，a是實常數(shù)，
（1）當a=1時，寫出函數(shù)f（x）的值域；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（x）是奇函數(shù)，不等式f（f（x））+f（m）＜0有解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)f（x）的值域；
（2）利用單調(diào)性的定義，判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（x）是奇函數(shù)，求出a，不等式f（f（x））+f（m）＜0有解，f_max（x）＞-m有解，即可求m的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1時，$f（x）=1+\frac{2}{{{3^x}+1}}$，定義域為R，
3^x+1∈（1，+∞），∴f（x）∈（1，3），
即函數(shù)的值域為（1，3）．
（2）函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減；下證明．
證明：設(shè)任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂．
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{2}{{{3^{x_1}}+1}}-\frac{2}{{{3^{x_2}}+1}}$=$\frac{2（{3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}）}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，
所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
（3）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）恒成立，
即$a+\frac{2}{{{3^{-x}}+1}}=-a-\frac{2}{{{3^x}+1}}$對x∈R恒成立，
化簡整理得$-2a=\frac{{2•{3^x}}}{{{3^x}+1}}+\frac{2}{{{3^x}+1}}$，即a=-1．
因為f（f（x））+f（m）＜0有解，且函數(shù)為奇函數(shù)，
所以f（f（x））＜-f（m）=f（-m）有解，
又因為函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，所以f（x）＞-m有解，
即f_max（x）＞-m有解，
又因為函數(shù)f（x）=$\frac{2}{{3}^{x}+1}$-1的值域為（-1，1），
所以-m＜1，即m＞-1．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．