(2009•荊州模擬)如圖,在矩形ABCD中,|AB|=2,|AD|=2
2
,以CD邊所在直線為y軸,線段CD的中點O為原點建立直角坐標系,直線AB上的動點E、F滿足|AE|2+|BF|2=|AB|2
(1)設(shè)直線CF、DE的交點為P,求點P的軌跡方程;
(2)過點Q(
5
,0)的直線l與點P的軌跡交于M、N兩點,若|MN|=2,求直線l的方程.
分析:(1)由題意得到A,B,C,D點的坐標,設(shè)出E,F(xiàn),P的坐標,分別由C、F、P三點共線,D、E、P三點共線列式得到E、F的坐標與P的坐標的關(guān)系,再由|AE|2+|BF|2=|AB|2列式化簡得到點P的軌跡方程;
(2)根據(jù)(1)中求出的曲線方程可知Q為其右焦點,分直線l的斜率存在和不存在兩種情況討論,斜率不存在時由弦長公式列式求斜率,從而求出直線l的方程.
解答:解:(1)由題意可知,A(2
2
,-1
)、B(2
2
,1
)、C(0,1)、D(0,-1).
設(shè)E(2
2
,y1
)、F(2
2
,y2
)、P(x,y)(x>0).
∵C、F、P三點共線,所以
y-1
x
=
y2-1
2
2
,得y2-1=
2
2
(y-1)
x

同理,由D、E、P三點共線得y1+1=
2
2
(y-1)
x

由|AE|2+|BF|2=|AB|2得:
(y1+1)2+(y2-1)2=22
[
2
2
(y+1)
x
]2+[
2
2
(y-1)
x
]2=4

化簡得P的軌跡方程為
x2
4
-y2=1
  (x>0);
(2)由(1)可知,點P的軌跡是雙曲線
x2
4
-y2=1
的右支,點Q即為其焦點,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),若l⊥x軸,易得|MN|=1,不符合題意.
設(shè)直線MN的方程為y=k(x-
5
),則
y=k(x-
5
)
x2
4
-y2=1
,整理得(1-4k2)x2+8
5
k2x-20k2-4=0

1-4k2≠0
(8
5
k)2-4(1-4k2)(-20k2-4)>0
x1+x2=
8
5
k2
4k2-1
>0
x1x2=
20k2+4
4k2-1
>0
,解得k2
1
4

又|MN|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
(
-8
5
k2
1-4k2
)2-4•
20k2+4
4k2-1
=
4
1+k2
|4k2-1|
1+k2
=2

4k2+4
4k2-1
=2
,∴k2=
3
2
,k=±
6
2

∴所求直線l的方程為y=±
6
2
(x-
5
)

y=
6
2
x-
30
2
y=-
6
2
x+
30
2
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,直線與曲線聯(lián)立,根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題,是處理這類問題的最為常用的方法,但圓錐曲線的特點是計算量比較大,要求考生具備較強的運算推理的能力,屬壓軸題.
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1
4
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6
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5
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