Question

已知函數(shù)f（x）=

mex-2x-x2lnx

x2

（其中e為自然對數(shù)的底）在區(qū)間（0，2）上有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂，記實數(shù)m的取值范圍為區(qū)間I．
（Ⅰ）求區(qū)間I；
（Ⅱ）記g（m）=x₁+x₂，證明：函數(shù)y=g（m）在區(qū)間I上單調(diào)遞減．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)極值的意義，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

(x-2)(mex-x)

x3

，
∵x∈（0，2），∴x-2＜0，x³＞0，
∴x₁，x₂是方程me^x-x=0的兩個不同的根，
即方程h（x）=

x

ex

，h′（x）=

1-x

ex

，
∴h（x）在（0，1]上遞增，在[1，2]上遞減，
又h（0）=0，h（1）=

1

e

，h（2）=

2

e2

，
∴I∈（

2

e2

，

1

e

）．
（Ⅱ）設(shè)m₁，m₂∈I，且m₁＜m₂，m₁，m₂對應(yīng)的極值點分別是x₁，x₂和

x

′ 1

，

x

′ 2

，
∵h(yuǎn)（x）=

x

ex

在區(qū)間（0，1]上遞增，在[1，2]上遞減，
∴0＜x₁＜

x

′ 1

＜1＜

x

′ 2

＜x₂，∴

x2

x1

＞

x ′ 2

x ′ 1

＞1，
又m₁ex1=x₁，m₁ex2=x₂，∴ex2-x1=

x2

x1

，
記

x2

x1

=t₁，則x₂-x₁=lnt₁，則x₁=

lnt1

t1-1

，x₂=

t1lnt1

t1-1

，g（m₁）=

(t1+1)lnt1

t1-1

，
記

x ′ 2

x ′ 1

=t₂，同理可得g（m₂）=

(t2+1)lnt2

t2-1

，
記φ（t）=

(t+1)lnt

t-1

，則φ′（t）=

-2lnt+t- 1 t

(t-1)2

，
令r（t）=-2lnt+t-

1

t

，則r′（t）=-

2

t

+1+

1

t2

=(

1

t

-1)2，∴t≥1時，r′（t）≥0，
∴t＞1時，r（t）＞r（1）=0，∴φ′（t）＞0，即φ（t）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵t₁＞t₂＞1，∴φ（t₁）＞φ（t₂），即g（m₁）＞g（m₂），
∴函數(shù)y=g（m）在區(qū)間I上單調(diào)遞減．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力及運算求解能力，邏輯性、綜合性強，屬于難題．