Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+

π

3

）（x∈R），且f(

π

6

)=1．
（1）求ω的最小正值及此時(shí)函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（2）將（1）中所得函數(shù)y=f（x）的圖象結(jié)果怎樣的變換可得y=

1

2

sin

1

2

x的圖象；
（3）在（1）的前提下，設(shè)α∈[

π

6

，

2π

3

，β∈(-

5π

6

，-

π

3

)，f(α)=

3

5

，f（β）=-

4

5

，
①求tanα的值；
②求cos2（α-β）-1的值．

Answer 1

分析：（1）將x用

π

6

代替，求出正弦為1的所有角，求出其中的最小值．
（2）據(jù)圖象的平移規(guī)律：左加右減；伸縮變換的規(guī)律：橫坐標(biāo)變?yōu)樽宰兞縳的乘的數(shù)的倒數(shù)；若三角函數(shù)符號(hào)前乘的數(shù)為A，則縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍．
（3）利用三角函數(shù)的平方關(guān)系求出α+

π

3

，β+

π

3

的余弦，利用商數(shù)關(guān)系求出α+

π

3

的正切；由于α-β=(α+

π

3

)-(β+

π

3

)
利用兩角和的正弦公式求出sin（α-β），再利用二倍角公式求出值．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="ok4iyrv" class="MathJye">f(

π

6

)=1，所以sin(ω•

π

6

+

π

3

)=1，
于是ω•

π

6

+

π

3

=

π

2

+2kπ(k∈Z)，即ω=1+12k（k∈Z），
故當(dāng)k=0時(shí)，ω取得最小正值1．
此時(shí)f(x)=sin(x+

π

3

)．
（2）先將y=sin(x+

π

3

)的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位得y=sinx的圖象；
再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得y=sin

1

2

x的圖象；
最后將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮小到原來(lái)的

1

2

倍（橫坐標(biāo)不變）得y=

1

2

sin

1

2

x的圖象．
（3）因?yàn)閒（α）=

3

5

，f(β)=-

4

5

，
所以sin(α+

π

3

)=

3

5

，sin(β+

π

3

)=-

4

5

．
因?yàn)?span id="cg4wxi4" class="MathJye">α∈[

π

6

，

2π

3

]，β∈(-

5π

6

，-

π

3

)，
所以α+

π

3

∈[

π

2

，π]，β+

π

3

∈(-

π

2

，0)．
于是cos(α+

π

3

)=-

4

5

，cos(β+

π

3

)=

3

5

．
①因?yàn)?span id="v0cb46c" class="MathJye">tan(α+

π

3

)=

sin(α+ π 3 )

cos(α+ π 3 )

=-

3

4

，
所以tanα=tan[(α+

π

3

)-

π

3

]=

tan(α+ π 3 )-tan π 3

1+tan(α+ π 3 )•tan π 3

=

- 3 4 - 3

1+(- 3 4 )• 3

=

4 3 +3

3 3 -4

=

48+25 3

11

．
②因?yàn)?span id="h9yovli" class="MathJye">sin(α-β)=sin[(α+

π

3

)-(β+

π

3

)]=sin(α+

π

3

)cos(β+

π

3

)-cos(α+

π

3

)sin(β+

π

3

)=

3

5

•

3

5

-(-

4

5

)•(-

4

5

)=-

7

25

，
所以cos2（α-β）-1=-2sin²（α-β）=-2×(-

7

25

)2=-

98

625

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的同角三角函數(shù)的公式，三角函數(shù)的二倍角公式．
將未知的角用已知的角表示，從而將未知的三角函數(shù)用已知的三角函數(shù)表示．