Question

（本小題滿分14分）

如圖4，在三棱柱中，△是邊長為的等邊三角形，

平面，，分別是，的中點.

（1）求證：∥平面；

（2）若為上的動點，當與平面所成最大角的正切值為時，

求平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）延長交的延長線于點，連接∵∥，且∴為的中點. ∴∥.∴∥平面（2）

【解析】

試題分析：解法一：

（1）證明：延長交的延長線于點，連接.

∵∥，且，

∴為的中點.  

∵為的中點，

∴∥. 

∵平面，平面，

∴∥平面. 

（2）解：∵平面，平面，

∴.

∵△是邊長為的等邊三角形，是的中點，

∴，. 

∵平面，平面，，

∴平面.

∴為與平面所成的角.  

∵，

在Rt△中，，

∴當最短時，的值最大，則最大.

∴當時，最大. 此時，.

∴.

∵∥，平面，

∴平面.

∵平面，平面，

∴，.   

∴為平面 與平面所成二面角（銳角）.

在Rt△中，，.

∴平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值為.

解法二：

（1）證明：取的中點，連接、.

∵為的中點，

∴∥，且.

∵∥，且，

∴∥，.  

∴四邊形是平行四邊形.

∴∥.  

∵平面，平面，

∴∥平面.  

（2）解：∵平面，平面，

∴.

∵△是邊長為的等邊三角形，是的中點，

∴，.

∵平面，平面，，

∴平面.

∴為與平面所成的角. 

∵，

在Rt△中，，

∴當最短時，的值最大，則最大. 

∴當時，最大. 此時，.

∴.  

在Rt△中，.

∵Rt△～Rt△，

∴，即.

∴.  

以為原點，與垂直的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，

建立空間直角坐標系.

則，，，.

∴， ， .

設平面的法向量為，

由，，

得 

令，則.

∴平面的一個法向量為. 

∵平面， ∴是平面的一個法向量.

∴.   

∴平面 與平面所成二面角（銳角）的余弦值為. 

考點：線面平行的判定及線面角二面角

點評：立體幾何題目若能找到從同一點出發(fā)的三線兩兩垂直則一般采用空間向量的方法求解，并且向量法求解立體幾何問題是高考題目的方向。本題還考查了空間想象、推理論證、抽象概括和運算求解能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法