Question

已知圓 C方程為.

（1）若圓C與直線相交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m；

（2）在（1）的條件下，求以MN為直徑的圓的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）m=.（2）x²+y²-x-y=0.

【解析】（1）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）,然后根據(jù)OM⊥ON可得x₁x₂+y₁y₂=0,

所以,然后直線x+2y-4=0與圓方程聯(lián)立，消去x得關(guān)于y的一元二次方程，借助韋達(dá)定理代入上式即可得到關(guān)于m的方程，求出m的值.

(2) 因?yàn)橐訫N為直徑的圓的方程為（x-x₁）(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0    

 即x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0，然后將（1）中x₁+x₂,y₁+y₂的值代入即可.

（1）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

則x₁=4-2y₁，x₂=4-2y₂，則x₁x₂=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂

∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0     ∴16-8（y₁+y₂）+5y₁y₂=0        ①

由   得5y²-16y+m+8=0

∴y₁+y₂=,y₁y₂=,代入①得，m=.

（2）以MN為直徑的圓的方程為

（x-x₁）(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0      即x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0

∴所求圓的方程為x²+y²-x-y=0.