Question

14．若實數(shù)x、y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-19≥0}\\{x-y+8≥0}\\{2x+y-14≤0}\end{array}\right.$，求下列目標(biāo)函數(shù)的最值．
（1）z=2x-y；（2）z=$\frac{y}{x}$；（3）z=x²+y²．

Answer 1

分析 先畫出滿足條件的平面區(qū)域：（1）平移直線y=2x-z即可；（2）根據(jù)z=$\frac{y}{x}$表示直線的斜率結(jié)合圖象求出即可；（3）根據(jù)兩點的距離公式計算即可．

解答 解：平面區(qū)域M如如圖所示：

求得A（2，10），C（3，8），B（1，9）；
（1）z=2x-y得：y=2x-z，
顯然直線過B時z最小，過C時z最大，
∴Z_最大值=-2，Z_最小值=-8；
（2）由圖象得：z=$\frac{y}{x}$得：
過OB的斜率最大，過OC的斜率最小，
∴Z_最大值=$\frac{9}{1}$=9，Z_最小值=$\frac{8}{3}$；
（3）z=x²+y²．
顯然OA最大，
設(shè)原點O到直線BC的距離為d，
則：d=$\frac{19}{\sqrt{5}}$=$\frac{19\sqrt{5}}{5}$
∴Z_最大值=4+100=104，Z_最小值=d²=$\frac{361}{5}$．

點評 本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．巧妙識別目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是我們研究規(guī)劃問題的基礎(chǔ)．