（本題滿分14分）某園林公司計(jì)劃在一塊為圓心,(為常數(shù)，單位為米)為半徑的半圓形（如圖）地上種植花草樹木，其中弓形區(qū)域用于觀賞樣板地，區(qū)域用于種植花木出售，其余區(qū)域用于種植草皮出售.已知觀賞樣板地的成本是每平方米2元，花木的利潤是每平方米8元，草皮的利潤是每平方米3元.

（1）設(shè), 用表示弓形的面積;（2）園林公司應(yīng)該怎樣規(guī)劃這塊土地,才能使總利潤最大? 并求相對應(yīng)的

(參考公式:扇形面積公式，表示扇形的弧長)

 

【答案】

（1） ;

(2)所以當(dāng)園林公司把扇形的圓心角設(shè)計(jì)成時，總利潤最大.   

【解析】本試題主要是考查了在實(shí)際生活中的運(yùn)用，能借助于三角函數(shù)的有界性得到函數(shù)的最值，即利潤的最大值。

（1）因?yàn)檫\(yùn)用扇形面積公式和三角形面積公式作差法得到弓形的面積的求解。

（2）利用收入減去成本的，到關(guān)系與利潤的函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的思想判定單調(diào)性，進(jìn)而確定極值，那么極值唯一，那么就是最值。

（1），, .………3分

(2)設(shè)總利潤為元，草皮利潤為元，花木地利潤為，觀賞樣板地成本為

，，,

 .

                                            ……8分

設(shè)  .

 ，上為減函數(shù)；

上為增函數(shù).                    ……12分

當(dāng)時，取到最小值,此時總利潤最大.

答：所以當(dāng)園林公司把扇形的圓心角設(shè)計(jì)成時，總利潤最大.          ………14分   

 

練習(xí)冊系列答案
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（本題滿分14分）某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本（萬元）與年產(chǎn)量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸.

（1）求年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；

（2）若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

 

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（本題滿分14分）某研究小組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間的關(guān)系，隨機(jī)抽取高二年級20名學(xué)生某次考試的成績（百分制）如下表所示：

 

序號

1

  2

  3

  4

  5

 6

  7

  8

9

10

數(shù)學(xué)成績

95

 75

 80

  94

  92

  65

 67

  84

 98

71

物理成績

 90

 63

 72

  87

  91

  71

 58

  82

 93

80

序號

11

 12

 13

  14

  15

  16

  17

  18

19

20

數(shù)學(xué)成績

67

 93

 64

  78

  77

  90

  57

  84

 72

83

物理成績

 77

 82

 48

  85

  69

  91

  61

  82

 78

86

若數(shù)學(xué)成績90分（含90分）以上為優(yōu)秀，物理成績85分（含85分）以上為優(yōu)秀。

⑴根據(jù)上表完成下面的列聯(lián)表：

 

數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀

數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀

合計(jì)

物理成績優(yōu)秀

 

      

  

物理成績不優(yōu)秀

 

       12

    

合計(jì)

 

      

    20

⑵根據(jù)⑴中表格的數(shù)據(jù)計(jì)算，有多少的把握，認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績之間有關(guān)系？

 

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  （1）現(xiàn)從該小組中任選2個同學(xué)參加數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動，求恰好選到1個曾經(jīng)參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)的概率；

（2）若從該小組中任選2個同學(xué)參加數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動，活動結(jié)束后，該小組沒有參加過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)活動的同學(xué)個數(shù)是一個隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

 

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（Ⅰ）求:搖獎兩次，均獲得一等獎的概率；

（Ⅱ）某消費(fèi)者購物滿200元，搖獎后所得獎金為X元，試求X的分布列與期望；

(Ⅲ)若超市同時舉行購物八八折讓利于消費(fèi)者活動（打折后不再享受搖獎），某消費(fèi)者剛好消費(fèi)200元，請問他是選擇搖獎還是選擇打折比較劃算.

 

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某校高三的某次數(shù)學(xué)測試中，對其中100名學(xué)生的成績進(jìn)行分析，按成績分組，得到的頻率分布表如下：

組號

分組

頻數(shù)

頻率

第1組

15

①

第2組

②

0.35

第3組

20

0.20

第4組

20

0.20

第5組

10

0.10

合計(jì)

 

100

1.00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（1）求出頻率分布表中①、②位置相應(yīng)的數(shù)據(jù)；

 

（2）為了選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生參加即將舉行的數(shù)學(xué)競賽，學(xué)校決定在成績較高的第3、4、5組中分層抽樣取5名學(xué)生，則第4、5組每組各抽取多少名學(xué)生？

 

（3）為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，學(xué)校又在這5名學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行訪談，求第4組中至少有一名學(xué)生被抽到的概率是多少？

 

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