Question

已知直線x-2y+1=0與圓(x-a)2+(y-b)2=

1

5

（a，b∈R）有交點(diǎn)，則a²+b²-2a+2b+1的最小值是（　�。�

• A．

  1

  5

• B．

  4

  5

• C．

  9

  5

• D．

  14

  5

Answer 1

分析：設(shè) k=a²+b²-2a+2b+1，則 （a-1）²+（b+1）²=k+1，故k+1 表示圓心C（a，b）到點(diǎn)A（1，-1）的距離的平方，因此要求k的最小值，只需求滿足題目條件的點(diǎn)C（a，b）與
點(diǎn)A（1，-1）的最短距離AC，AC的最小值等于點(diǎn)A（1，-1）到直線x-2y+1=0的距離減去半徑，進(jìn)而求出AC²的最小值，從而得到k的最小值．

解答：解：∵圓(x-a)2+(y-b)2=

1

5

的圓心為C（a，b），半徑等于

5

5

．
設(shè) k=a²+b²-2a+2b+1=（a-1）²+（b+1）²-1，則 （a-1）²+（b+1）²=k+1，
故k+1表示圓心C（a，b）到點(diǎn)A（1，-1）的距離的平方，因此要求k的最小值，只需求滿足題目條件的點(diǎn)C（a，b）與點(diǎn)A（1，-1）的最短距離AC．
故當(dāng)AC和直線x-2y+1=0垂直時(shí)，AC最短，此時(shí)，AC的最小值等于點(diǎn)A（1，-1）到直線x-2y+1=0的距離減去半徑，
即

|1+2+1|

5

-

5

5

=

3 5

5

．
故k+1的最小值為(

3 5

5

)2=

9

5

，
∴k 的最小值等于

9

5

-1=

4

5

．
故選B．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．