Question

已知定圓A：（x+1）²+y²=16，圓心為A，動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)B（1，0）且和圓A相切，動(dòng)圓的圓心M的軌跡記為C．
（I）求曲線C的方程；
（II）若點(diǎn)P（x₀，y₀）為曲線C上一點(diǎn)，求證：直線l：3x₀x+4y₀y-12=0與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

分析：（I）依據(jù)條件判斷定圓和動(dòng)圓相內(nèi)切，再依據(jù)橢圓的定義寫出曲線C的方程．
（II）分類討論，當(dāng)y₀=0時(shí)，檢驗(yàn)直線l：3x₀x+4y₀y-12=0與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)y₀≠0時(shí)，把直線和橢圓方程聯(lián)立方程組，利用點(diǎn)P（x₀，y₀）為曲線C上一點(diǎn)，求出只有一個(gè)解，并說(shuō)明直線和橢圓只有唯一交點(diǎn)．

解答：解：（I）圓A的圓心為A（-1，0），半徑r₁=4，
設(shè)動(dòng)圓M的圓心M（x，y），半徑為r₂，依題意有，r₂=|MB|．
由|AB|=2，可知點(diǎn)B在圓A內(nèi)，從而圓M內(nèi)切于圓A，
故|MA|=r₁-r₂，即|MA|+|MB|=4，
所以，點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由2a=4，2c=2，可得a²=4，b²=3．
故曲線C的方程為

x 2

4

+

y2

3

=1.（6分）
（II）解：當(dāng)y0=0時(shí)，由

x 4 0

4

+

y 2 0

3

=1，可得x0=±2，當(dāng)x₀=2，y₀=0時(shí)，直線l的方程為x₀=2，
直線l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)（2，0）．
當(dāng)x₀=-2，y₀=0時(shí)，直線l的方程為x₀=-2，
直線l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)（-2，0）．
當(dāng)y0≠0時(shí)，直線l的方程為y=

12-3x0x

4y0

，
聯(lián)立方程組：

y= 12-3x0x 4y0 x2 4 + y2 3 =1.

消去y，得（4y₀²+3x₀³）x²-24x₀x+48-16y₀²=0．①
由點(diǎn)P（x₀，y₀）為曲線C上一點(diǎn)，得

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1．?可得4

y

2 0

+3

x

2 0

=12.
于是方程①可以化簡(jiǎn)為x²-2x₀x+x₀²=0．解得x=x₀，
將x=x0代入方程y=

12-3x0x

4y0

可得y=y0，
故直線l與曲線C有且有一個(gè)交點(diǎn)P（x₀，y₀），
綜上，直線l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)為P（x₀，y₀）．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩圓的位置關(guān)系、用定義法求軌跡方程，直線和橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用．