Question

已知焦點在x軸上橢圓長軸是短軸的2倍，橢圓上任意一點與兩焦點組成的三角形面積的最大值為

3

，P是圓x²+y²=16上任意一點，過P點作橢圓的切線PA，PB，切點分別為A，B．
（1）求橢圓的軌跡方程；
（2）求

PA

•

PB

的最大值和最小值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用焦點在x軸上橢圓長軸是短軸的2倍，橢圓上任意一點與兩焦點組成的三角形面積的最大值為

3

，求出a，b，c，即可求橢圓的軌跡方程；
（2）求出直線AB的方程為

mx

4

+ny=1．代入橢圓方程，利用數(shù)量積公式，結合P是圓x²+y²=16上任意一點，即可求

PA

•

PB

的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵焦點在x軸上橢圓長軸是短軸的2倍，橢圓上任意一點與兩焦點組成的三角形面積的最大值為

3

，
∴a=2b，

1

2

•2c•b=

3

，
∴a=2，b=1，c=

3

，
∴橢圓的軌跡方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設P（m，n），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
PA：

x1x

4

+y₁y=1，PB：

x2x

4

+y₂y=1，
∵過P點作橢圓的切線PA，PB，
∴直線AB的方程為

mx

4

+ny=1．
代入橢圓方程可得（4n²+m²）x²-8mx+（16-16n²）=0，
∴x₁+x₂=

8m

4n2+m2

，x₁x₂=

16-16n2

4n2+m2

，
∴

PA

•

PB

=

20-3m2

4n2+m2

+m²+n²-6，
∵m²+n²=16，
∴

PA

•

PB

=

20-3m2

4n2+m2

+m²+n²-6
=11-

44

3n2+16

，
∵0≤n²≤16，
∴n=0，m=±4，即P（±4，0）時，

PA

•

PB

有最小值

33

4

，
∴m=0，n=±4，即P（0，±4）時，

PA

•

PB

有最大值

165

16

．

點評：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應用、直線與橢圓的位置關系及直線，解題時要認真審題，注意運用方程思想等數(shù)學思想，同時考查了學生的基本運算能力、運算技巧、邏輯推理能力，難度較大．