Question

己知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，A₁、A₂是橢圓的左右頂點(diǎn)，B₁、B₂是橢圓的上下頂點(diǎn)，四邊形A₁B₁A₂B₂的面積為16．
（1）求橢圓C的方程；
（2）圓M過A₁、B₁兩點(diǎn)．當(dāng)圓心M與原點(diǎn)O的距離最小時(shí)，求圓M的方程．

Answer 1

解：（1）依題意有：①…（2分）
四邊形A₁B₁A₂B₂是以橢圓C的四頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的菱形
可得：S_A1B1A2B2=即②…（4分）
由①、②聯(lián)解，可得：
所以橢圓C的方程為：…（6分）
（2）依題意得
可得A₁B₁的中點(diǎn)為（-2，），A₁B₁的斜率k=
∴A₁B₁的垂直平分線l的斜率為k'==-，
可得A₁B₁的垂直平分線l的方程為：y-=-（x+2），化簡得…③（8分）
根據(jù)圓M過A₁、B₁兩點(diǎn)，可得圓心M在l上，當(dāng)圓心M與原點(diǎn)O的距離最小時(shí)，OM⊥l
∴OM的方程為…④（10分）
聯(lián)立③、④得，得到…（12分）
由此可得，
因此，此時(shí)的圓M方程為：…（14分）
分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率和菱形A₁B₁A₂B₂的面積，建立關(guān)于a、b、c的方程組，解之可得，從而得到橢圓C的方程；
（2）根據(jù)題意，過A₁、B₁兩點(diǎn)的圓的圓心M在A₁B₁的垂直平分線l上，且當(dāng)OM⊥l時(shí)圓心M與原點(diǎn)O的距離最小．由此得到直線OM的方程與直線l方程聯(lián)解得到M（-，-），再由MA₁長得到圓M的半徑，得到此時(shí)圓M的方程．
點(diǎn)評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的方程并且求圓心M與原點(diǎn)距離最小時(shí)的圓M的方程，著重了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等知識，屬于中檔題．