Question

已知函數(shù)f（x）=（1-2a）x³+（9a-4）x²+（5-12a）x+4a（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最大值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值為2，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)f′（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可求得單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性可求最大值；
（2）討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來確定極值，根據(jù)極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)就是最大值，建立等量關(guān)系，求出參數(shù)a的范圍即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x³-4x²+5x，f′（x）=3x²-8x+5=（3x-5）（x-1），
由f′（x）＞0，得0≤x＜1或

5

3

＜x≤2；由f′（x）＜0，得1＜x＜

5

3

，
∴f（x）在[0，1]，[

5

3

，2]上單調(diào)遞增；在[1，

5

3

]上單調(diào)遞減．
又f（1）=f（2）=2，
∴函數(shù)在[0，2]上的最大值為2．
（2）一方面由題意，得

f(0)≤2 f(1)≤2 f(2)≤2

，即0≤a≤

1

2

；
另一方面，當(dāng)0≤a≤

1

2

時(shí)，f（x）=（-2x³+9x²-12x+4）a+x³-4x²+5x，
令g（a）=（-2x³+9x²-12x+4）a+x³-4x²+5x，則
g（a）≤max{g（0），g（

1

2

）}
=max{x³-4x²+5x，

1

2

（-2x³+9x²-12x+4）+x³-4x²+5x}
=max{x³-4x²+5x，

1

2

x²-x+2}，
f（x）=g（a）≤max{x³-4x²+5x，

1

2

x²-x+2}，
又0≤x≤2時(shí)，max{x³-4x²+5x}=2，max{

1

2

x²-x+2}=2，且f（2）=2，
所以當(dāng)0≤a≤

1

2

時(shí)，f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值是2．
綜上，所求a的取值范圍是0≤a≤

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于中檔題．