Question

設(shè)雙曲線的離心率e=，過點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為．
（1）求雙曲線方程；
（2）直線y=kx+5（k≠0）與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)C、D，且C、D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一個(gè)圓上，求k值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線AB的方程為bx-ay-ab=0進(jìn)而表示出原點(diǎn)O到直線AB的距離求得ab和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)離心率和a，b和c的關(guān)系建立方程組求得a和b，則雙曲線方程可得．
（2）直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點(diǎn)M（x，y），根據(jù)|AC|=|AD|判斷出M在CD的中垂線AM上，進(jìn)而求得x和y的表達(dá)式，代入直線AM的方程中求得k．
解答：解：（1）設(shè)直線AB的方程為bx-ay-ab=0，
又原點(diǎn)O到直線AB的距離=
∴ab=c
進(jìn)而有解得a=，b=1
∴雙曲線方程為
（2）由消去y，（1-3k²）x²-30kx-78=0
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點(diǎn)M（x，y），
∵|AC|=|AD|，∴M在CD的中垂線AM上，
∴x==，y=kx+5=
l_AM：y+1=-x，
∴+1=-，整理解得k=
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力和運(yùn)算能力．