Question

11．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{7}cosα\\ y=\sqrt{7}sinα\end{array}\right.$（其中α為參數(shù)），曲線${C_2}：{（{x-1}）^2}+{y^2}=1$，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的極坐標方程；
（Ⅱ）若射線$θ=\frac{π}{3}（{ρ＞0}）$與曲線C₁，C₂分別交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的互化方法，求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的極坐標方程；
（Ⅱ）將$θ=\frac{π}{3}（{ρ＞0}）$代入曲線C₁的極坐標方程得ρ²-2ρ-3=0，解得ρ₁=3，同理將$θ=\frac{π}{3}（{ρ＞0}）$曲線C₂的極坐標方程得ρ₂=1．可得|AB|=|ρ₁-ρ₂|=2．

解答 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{7}cosα\\ y=\sqrt{7}sinα\end{array}\right.$，有曲線C₁的普通方程為（x-2）²+y²=7．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入（x-1）²+y²=1，得（ρcosθ-1）²+（ρsinθ）²=1，化簡得，曲線C₂的極坐標方程ρ=2cosθ．------（5分）
（2）依題意可設(shè)$A（{{ρ_1}，\frac{π}{3}}），B（{{ρ_2}，\frac{π}{3}}）$．因為曲線C₁的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ-3=0，
將$θ=\frac{π}{3}（{ρ＞0}）$代入曲線C₁的極坐標方程得ρ²-2ρ-3=0，解得ρ₁=3．
同理將$θ=\frac{π}{3}（{ρ＞0}）$曲線C₂的極坐標方程得ρ₂=1．所以|AB|=|ρ₁-ρ₂|=2．------（10分）

點評 本題考查三種方程的互化，考查極坐標方程的運用，屬于中檔題．