Question

15．若點P（x，y）滿足x+y=1，則$\sqrt{{{（x+2）}^2}+{{（y-1）}^2}}+\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{7}$
• C． 3
• D． $\sqrt{13}$

Answer 1

分析 $\sqrt{{{（x+2）}^2}+{{（y-1）}^2}}+\sqrt{{x^2}+{y^2}}$表示直線x+y=1上的點P（x，y）到兩點A（-2，1），B（0，0）的距離之和．設點B關于直線x+y=1的對稱點為B′（x，y），則$\sqrt{{{（x+2）}^2}+{{（y-1）}^2}}+\sqrt{{x^2}+{y^2}}$≥|AB′|．

解答 解：$\sqrt{{{（x+2）}^2}+{{（y-1）}^2}}+\sqrt{{x^2}+{y^2}}$表示直線x+y=1上的點P（x，y）到兩點A（-2，1），B（0，0）的距離之和．
設點B關于直線x+y=1的對稱點為B′（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1}\\{\frac{y}{x}=1}\end{array}\right.$，解得x=y=1．
∴B′（1，1），
連接AB′交直線x+y=1于點P，
則點P即為所求．
∴$\sqrt{{{（x+2）}^2}+{{（y-1）}^2}}+\sqrt{{x^2}+{y^2}}$≥|AB′|=3．
故選：C．

點評 本題考查了軸對稱的性質(zhì)、中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關系、兩點之間的距離之和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．