列三角形數(shù)表
1-----------第一行
2    2-----------第二行
3   4    3-----------第三行
4   7    7   4-----------第四行
5   11  14  11   5


假設(shè)第n行的第二個(gè)數(shù)為an(n≥2,n∈N*
(1)依次寫出第六行的所有數(shù)字;
(2)歸納出an+1與an的關(guān)系式并求出an的通項(xiàng)公式.
分析:(1)根據(jù)三角形數(shù)表,兩側(cè)數(shù)為從1開始的自然數(shù)列,中間的數(shù)從第三行起,每一個(gè)數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和的規(guī)律寫出來.
(2)依據(jù)“中間的數(shù)從第三行起,每一個(gè)數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和”則第二個(gè)數(shù)等于上一行第一個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)的和,即有an+1=an+n(n≥2),再由累加法求解.
解答:解:(1)第六行的所有6個(gè)數(shù)字分別是:
6,16,25,25,16,6;
(2)依題意an+1=an+n(n≥2),
a2=2an=a2+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1
=2+2+3+…+(n-1)=2+
(n-2)(n+1)
2
,
所以 an=
1
2
n2-
1
2
n+1.(n≥2).
點(diǎn)評:本題通過三角數(shù)表構(gòu)造了一系列數(shù)列,考查了數(shù)列的通項(xiàng)及求和的方法,還考查了數(shù)列間的關(guān)系,入題較難,知識點(diǎn),方法活,屬中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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在古希臘,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10,15,21,28,…,這些數(shù)叫做三角形數(shù),其通項(xiàng)為
n(n+1)
2
,前n項(xiàng)和為sn=
n(n+1)(n+2)
6
,如下圖所示,有一列三角形數(shù)表,其位于三角形的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí))都分別依次成等差數(shù)列,依次記各三角形數(shù)表中的所有數(shù)之和為an,則a1=
0+2+6
4
=
2(1+3)
4
=2,a2=
0+3+9+18
9
=
3(1+3+6)
9
=
10
3
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(1)求a3,a4,并寫出an的表達(dá)式;
(2)令bn=
an
an+1
+
an+1
an
,證明2n<b1+b2+b3+…+bn<2n+2(n∈N*).

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列三角形數(shù)表
1            -----------第一行
2    2         -----------第二行
3   4    3       -----------第三行
4   7    7   4     -----------第四行
                5   11  14  11   5
…   …     …     …
…   …   …    …     …
假設(shè)第行的第二個(gè)數(shù)為
(1)依次寫出第六行的所有數(shù)字;
(2)歸納出的關(guān)系式并求出的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)求證:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011年河南省許昌市四校高二下學(xué)期第一次聯(lián)考文科數(shù)學(xué) 題型:解答題

 

列三角形數(shù)表

                         1            -----------第一行

                       2    2         -----------第二行

                     3   4    3       -----------第三行

                   4   7    7   4     -----------第四行

                 5   11  14  11   5

…    …      …      …

          …    …    …     …      …

假設(shè)第行的第二個(gè)數(shù)為

(1)依次寫出第六行的所有數(shù)字;

(2)歸納出的關(guān)系式并求出的通項(xiàng)公式;

(3)設(shè)求證:

 

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列三角形數(shù)表
1-----------第一行
2    2-----------第二行
3   4    3-----------第三行
4   7    7   4-----------第四行
5   11  14  11   5


假設(shè)第n行的第二個(gè)數(shù)為an(n≥2,n∈N*
(1)依次寫出第六行的所有數(shù)字;
(2)歸納出an+1與an的關(guān)系式并求出an的通項(xiàng)公式.

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