Question

已知橢圓C以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點(diǎn)，且離心率
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）過點(diǎn)斜率為k的直線l₁與橢圓C有兩個不同交點(diǎn)P、Q，求k的范圍
（Ⅲ）設(shè)橢圓C與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B，是否存在直線l₁，滿足（Ⅱ）中的條件且使得向量與垂直？如果存在，寫出l₁的方程；如果不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的半長軸長、半短軸長、半焦距長分別為a、b、c由題意可得c，根據(jù)離心率求得a，進(jìn)而可得b，橢圓的方程可得．
（Ⅱ）通過點(diǎn)斜式設(shè)出直線l₁的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，通過判別式大于0求得k的范圍
（Ⅲ）設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），則x₁、x₂是（*）的二根，根據(jù)韋達(dá)定理可得求得x₁+x₂和y₁+y₂，進(jìn)而可表示出，根據(jù)A，B坐標(biāo)求得，若，需求得的k不符合（2）中的k的范圍，進(jìn)而可判斷不存在滿足題設(shè)條件的l₁．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的半長軸長、半短軸長、半焦距長分別為a、b、c
由題設(shè)知：c=1
由，得，
則b=1
∴橢圓C的方程為
（Ⅱ）過點(diǎn)斜率為k的直線
即
與橢圓C方程聯(lián)立消y得（2k²+1）x²+4x+2=0（*）
由l₁與橢圓C有兩個不同交點(diǎn)知
其△=32k²-8（2k²+1）＞0得或
∴k的范圍是．
（Ⅲ）設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），則x₁、x₂是（*）的二根
則，則y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=
則=
由題設(shè)知，∴
若，須
得
∴不存在滿足題設(shè)條件的l₁．
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．當(dāng)設(shè)直線方程的時候要對斜率存不存兩種情況討論，最后還要看求得的k是否符合題意．