已知a∈R,函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x2+ax+2.
(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)令a=-1,b∈R,已知函數(shù)g(x)=b+2bx-x2.若對(duì)任意x1∈(-1,+∞),總存在x2∈[-1,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
分析:(1)本題知道了函數(shù)在(0,1)上是增函數(shù),求a范圍,可以轉(zhuǎn)化為f'(x)<0在(1,+∞)上恒成立,由此求解參數(shù)范圍即可;
(2)分類(lèi)討論求出函數(shù)g(x)的最小值,使g(x)的最小值恒小于等于f(x)的最小值,從而求出a的取值范圍
解答:解:(1)函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為減函數(shù)?f′(x)=
-2x+a≤0
在[1,+∞)上恒成立?a≤2x-
在[1,+∞)上恒成立,
令h(x)=2x-
,由h′(x)>0(或利用增函數(shù)減減函數(shù))?h(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)?h(x)min=h(1)=
,
所以a≤
;
(2)若對(duì)任意x
1∈[-1,+∞),總存在x
2∈[-1,+∞),使得f(x
1)=g(x
2)成立,則函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上的值域是函數(shù)g(x)在[-1,+∞)上的值域的子集.對(duì)于函數(shù)f(x),因?yàn)?BR>a=-1,所以f(x)=ln(x+1)-x
2-x+2,定義域(-1,+∞)
f′(x)=
-2x-1=
令f′(x)=0得x
1=0x
2=-(舍去).
當(dāng)x變化時(shí),f(x)與f′(x)的變化情況如下表:
所以f(x)max=f(0)=2?所以f(x)的值域?yàn)椋?∞,2)
對(duì)于函數(shù)g(x)=-x
2+2bx+b=-(x-b)
2+b+b
2①當(dāng)b≤-1時(shí),g(x)的最大值為g(-1)=-1-b?g(x)值域?yàn)椋?∞,-1-b]
由-1-b≥2?b≤3;
②當(dāng)b>-1時(shí),g(x)的最大值為g(b)=b
2+b?g(x)值域?yàn)椋?∞,b
2+b]
由b
2+b≥2?b≥1或b≤-2(舍去),
綜上所述,b的取值范圍是(-∞,-3]∪[1.+∞).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義,以及分類(lèi)討論的思想,解題的關(guān)鍵是對(duì)于恒成立的理解,是一道綜合題