Question

（2012•開(kāi)封一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線(xiàn)C₁：x²+y²=1，以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，已知直線(xiàn)l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）將曲線(xiàn)C₁上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)為原來(lái)的

3

、2倍后得到曲線(xiàn)C₂，試寫(xiě)出直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)C₂的參數(shù)方程；
（2）在曲線(xiàn)C₂上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析：（1）直接寫(xiě)出直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程，將曲線(xiàn)C₁上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)為原來(lái)的

3

、2倍后得到曲線(xiàn)C₂的方程，然后寫(xiě)出曲線(xiàn)C₂的參數(shù)方程；
（2）設(shè)出曲線(xiàn)C₂上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離公式，求出距離表達(dá)式，利用三角變換求出最大值．

解答：解：（1）由題意可知：直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為：2x-y-6=0，
因?yàn)榍�線(xiàn)C₂的直角坐標(biāo)方程為：(

x

3

)2+(

y

2

)2=1．
∴曲線(xiàn)C₂的參數(shù)方程為：

x= 3 cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)）．
（2）設(shè)P的坐標(biāo)（

3

cosθ ，2sinθ），則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為：
d=

|2 3 cosθ-2sinθ-6|

5

=

|4sin(60°-θ)-6|

5

，
∴當(dāng)sin（60°-θ）=-1時(shí)，點(diǎn)P（-

3

2

，1），
此時(shí)dmax=

|4+6|

5

=2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線(xiàn)的參數(shù)方程，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．